Niveau 2ⁿᵈᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : calculer une moyenne pondérée · déterminer une médiane et des quartiles · interpréter un écart type et comparer deux séries · lire et construire un histogramme et un polygone des fréquences cumulées.
Tu sais calculer une moyenne et lire un tableau d'effectifs. En seconde, on ajoute les indicateurs de DISPERSION : deux classes peuvent avoir la même moyenne et des résultats pourtant très différents.
La moyenne de 12, 14 et 16 vaut (12 + 14 + 16)/3 = 14.
L'effectif total est la somme de tous les effectifs ; une fréquence est un effectif divisé par l'effectif total.
Une moyenne résume une série par un seul nombre, mais ne dit rien sur la dispersion.
Un indicateur de position (moyenne, médiane) se complète toujours par un indicateur de dispersion.
Une classe de 30 élèves a 12 de moyenne, une autre de 20 élèves a 16. La moyenne des deux classes réunies n'est pas 14 : les groupes n'ont pas le même poids. C'est tout l'objet de la moyenne PONDÉRÉE.
La MOYENNE PONDÉRÉE d'une série de valeurs x₁, …, x_p affectées des effectifs n₁, …, n_p est x̄ = (n₁x₁ + … + n_px_p)/(n₁ + … + n_p).
On peut aussi l'obtenir avec les fréquences : x̄ = f₁x₁ + … + f_px_p, où la somme des fréquences vaut 1.
LINÉARITÉ : si on ajoute un même nombre b à toutes les valeurs, la moyenne augmente de b ; si on les multiplie toutes par a, la moyenne est multipliée par a.
| Note | 8 | 12 | 14 | 16 |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 10 | 5 | 2 |
Méthode — calculer une moyenne à partir d'un tableau.
1) Je multiplie chaque valeur par son effectif : 3 × 8 + 10 × 12 + 5 × 14 + 2 × 16 = 24 + 120 + 70 + 32 = 246.
2) Je calcule l'effectif total : 3 + 10 + 5 + 2 = 20.
3) Je divise : 246/20 = 12,3. La moyenne de la classe est 12,3.
Moyenne de deux groupes : 30 élèves à 12 et 20 élèves à 16 donnent (30 × 12 + 20 × 16)/50 = (360 + 320)/50 = 13,6.
Linéarité : si le professeur ajoute 1 point à tout le monde, la moyenne passe à 14,6 ; s'il multiplie toutes les notes par 1,1, elle devient 14,96.
Contre-exemple : la moyenne des deux classes n'est pas (12 + 16)/2 = 14.
Ce calcul supposerait que les deux groupes ont le même effectif. Comme la classe la plus nombreuse a la plus petite moyenne, la vraie valeur, 13,6, est tirée vers le bas.
x̄ = somme des (effectif × valeur) / effectif total.
Linéarité : ajouter b décale la moyenne de b, multiplier par a la multiplie par a.
Question 1 — Avec le tableau du cours (8×3, 12×10, 14×5, 16×2), que vaut la moyenne ?
Question 2 — 30 élèves ont 12 de moyenne, 20 élèves ont 16. Quelle est la moyenne des 50 élèves ?
Question 3 — On ajoute 2 points à toutes les notes d'une série de moyenne 11. Quelle est la nouvelle moyenne ?
Dans une entreprise, dix salariés gagnent 1 800 € et le patron 50 000 €. La moyenne, tirée vers le haut, ne décrit personne. La MÉDIANE, elle, reste à 1 800 € : elle résiste aux valeurs extrêmes.
La MÉDIANE d'une série ordonnée est une valeur qui partage la série en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.
Le PREMIER QUARTILE Q₁ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25 % des données lui soient inférieures ou égales ; le TROISIÈME QUARTILE Q₃ correspond à 75 %.
L'ÉCART INTERQUARTILE est la différence Q₃ − Q₁ : c'est un indicateur de dispersion associé à la médiane.
Méthode — déterminer la médiane.
1) J'ORDONNE la série dans l'ordre croissant : c'est l'étape que l'on oublie le plus souvent.
2) Si l'effectif N est impair, la médiane est la valeur de rang (N + 1)/2.
3) Si N est pair, c'est la moyenne des valeurs de rangs N/2 et N/2 + 1. Pour 7 · 9 · 12 · 15, la médiane vaut (9 + 12)/2 = 10,5.
Méthode — déterminer les quartiles.
1) Je calcule N/4 : si le résultat n'est pas entier, j'arrondis à l'entier SUPÉRIEUR, et Q₁ est la valeur de ce rang.
2) Je calcule 3N/4 de la même façon pour Q₃.
3) Pour N = 20 : N/4 = 5, donc Q₁ est la 5ᵉ valeur ; 3N/4 = 15, donc Q₃ est la 15ᵉ valeur.
Contre-exemple : la médiane de 15 · 7 · 12 · 9 n'est pas (12 + 9)/2.
La série n'est pas ordonnée. Après tri — 7 · 9 · 12 · 15 — la médiane est bien (9 + 12)/2 = 10,5, ce qui donne ici le même résultat par chance, mais la démarche serait fausse sur un autre exemple.
Médiane : la série est coupée en deux moitiés de même effectif.
Q₁ : rang N/4 arrondi au supérieur · Q₃ : rang 3N/4 arrondi au supérieur · dispersion : Q₃ − Q₁.
Question 1 — Quelle est la médiane de la série 7 · 9 · 12 · 15 ?
Question 2 — Une série contient 20 valeurs ordonnées. Quel rang correspond à Q₁ ?
Question 3 — Pourquoi préfère-t-on parfois la médiane à la moyenne ?
Deux élèves ont 10 de moyenne. Le premier a eu 10, 10, 10 ; le second 2, 10, 18. Même moyenne, régularité très différente. L'écart type mesure précisément cette différence.
La VARIANCE d'une série est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. L'ÉCART TYPE, noté σ, est la racine carrée de la variance : il s'exprime dans la même unité que les données.
Plus l'écart type est PETIT, plus les valeurs sont resserrées autour de la moyenne : la série est régulière. Plus il est GRAND, plus la série est dispersée.
On associe toujours les indicateurs par paires : (moyenne ; écart type) ou (médiane ; écart interquartile).
Méthode — comparer deux séries.
1) Je compare d'abord les moyennes : elles disent le niveau général.
2) Je compare ensuite les écarts types : ils disent la régularité.
3) Je rédige une phrase qui articule les deux, par exemple : « les deux classes ont la même moyenne, mais la seconde est plus hétérogène ».
Pour 10 · 10 · 10, l'écart type vaut 0 : toutes les valeurs sont égales à la moyenne.
Pour 2 · 10 · 18, les écarts à la moyenne valent −8, 0 et 8 : la variance vaut (64 + 0 + 64)/3 ≈ 42,7 et l'écart type environ 6,5.
Contre-exemple : un écart type nul ne signifie pas « pas de données ».
Il signifie que toutes les valeurs sont IDENTIQUES. À l'inverse, un écart type ne peut jamais être négatif : c'est une racine carrée.
Écart type petit → série régulière ; écart type grand → série dispersée.
Couples d'indicateurs : (moyenne ; écart type) et (médiane ; écart interquartile).
Question 1 — Que vaut l'écart type de la série 10 · 10 · 10 ?
Question 2 — Deux séries ont la même moyenne. Celle dont l'écart type est le plus grand est :
Question 3 — Quel indicateur de dispersion accompagne la médiane ?
Quand les données sont nombreuses — les durées de trajet de 24 élèves, par exemple — on les regroupe en CLASSES. Le graphique qui leur correspond n'est pas un diagramme en barres ordinaire : c'est un histogramme.
Un HISTOGRAMME représente une série regroupée en classes : chaque classe est un rectangle dont l'AIRE est proportionnelle à l'effectif. Quand toutes les classes ont la même amplitude, la hauteur suffit à lire l'effectif.
La FRÉQUENCE CUMULÉE CROISSANTE d'une classe est la somme des fréquences de cette classe et de toutes les précédentes. Le POLYGONE des fréquences cumulées relie ces valeurs, ce qui permet de lire une médiane approchée à la hauteur 0,5.
Durées de trajet (en minutes) de 24 élèves, regroupées en quatre classes de même amplitude.
Méthode — exploiter un regroupement en classes.
1) Je repère la classe la plus fréquente : ici [10 ; 20[, avec 10 élèves.
2) Je calcule les fréquences : 4/24 ≈ 0,17 ; 10/24 ≈ 0,42 ; 7/24 ≈ 0,29 ; 3/24 = 0,125.
3) Je cumule : 0,17 ; 0,58 ; 0,88 ; 1. La barre des 0,5 est franchie dans la classe [10 ; 20[ : c'est la CLASSE MÉDIANE.
La moyenne approchée se calcule avec les CENTRES de classes : (4 × 5 + 10 × 15 + 7 × 25 + 3 × 35)/24 = 450/24 = 18,75 minutes.
On perd un peu de précision, puisqu'on ignore la répartition à l'intérieur de chaque classe.
Contre-exemple : la classe médiane n'est pas la classe la plus haute de l'histogramme.
C'est la classe où le cumul des fréquences dépasse 0,5. Ici les deux coïncident, mais si la première classe comptait 13 élèves, la classe médiane serait [0 ; 10[ tout en n'étant pas forcément la plus fréquente ensuite.
Histogramme : classes de même amplitude → la hauteur donne l'effectif.
Fréquences cumulées croissantes : la classe où l'on franchit 0,5 est la classe médiane.
Question 1 — Sur l'histogramme du cours, quelle est la classe la plus fréquente ?
Question 2 — Que vaut toujours la dernière fréquence cumulée croissante ?
Question 3 — Comment lit-on une médiane approchée sur un polygone des fréquences cumulées ?
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