Niveau 2ⁿᵈᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : décrire les variations d'une fonction et dresser son tableau de variations · déterminer graphiquement un maximum et un minimum sur un intervalle · relier le sens de variation d'une fonction affine au signe de son coefficient directeur · résoudre un problème d'optimisation.
Tu sais lire un graphique et repérer si une courbe monte ou descend. En seconde, on met des mots précis sur ces observations et on les résume dans un outil très pratique : le tableau de variations.
Une fonction affine f(x) = mx + p a pour représentation graphique une droite.
Le nombre m est son coefficient directeur : il indique de combien monte (ou descend) la droite quand x augmente de 1.
Une courbe qui monte de gauche à droite correspond à une fonction croissante.
Le coefficient directeur d'une fonction affine se lit dans son expression : c'est le nombre devant x.
La température d'une journée monte du matin jusqu'au milieu de l'après-midi, puis redescend. Décrire cela avec une phrase est long ; un tableau de variations le résume en trois lignes et quelques flèches.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. La fonction f est CROISSANTE sur I lorsque, pour tous réels x₁ et x₂ de I tels que x₁ ⩽ x₂, on a f(x₁) ⩽ f(x₂) : les images sont rangées dans le MÊME ordre que les nombres.
Elle est DÉCROISSANTE sur I lorsque x₁ ⩽ x₂ entraîne f(x₁) ⩾ f(x₂) : les images sont rangées dans l'ordre INVERSE.
Une fonction est MONOTONE sur I lorsqu'elle y garde le même sens de variation.
Courbe d'une fonction f définie sur [−4 ; 4].
Sur la courbe ci-dessus, f est croissante sur [−4 ; −2], décroissante sur [−2 ; 0], croissante sur [0 ; 2] puis décroissante sur [2 ; 4].
Son tableau de variations résume tout cela : première ligne les valeurs −4, −2, 0, 2 et 4 ; seconde ligne des flèches montantes ou descendantes, avec les images 1, 5, −1, 3 et 0 aux extrémités.
Contre-exemple : cette fonction n'est PAS monotone sur [−4 ; 4].
Elle change plusieurs fois de sens : elle n'est monotone que sur chacun des quatre intervalles pris séparément.
Méthode — comparer deux images à l'aide d'un tableau.
1) Je repère si les deux nombres appartiennent au MÊME intervalle de monotonie.
2) Si oui, j'applique le sens de variation : sur un intervalle de croissance, le plus petit nombre a la plus petite image.
3) Si non, je ne peux pas conclure sans les valeurs précises.
Croissante : même ordre que les nombres. Décroissante : ordre inverse. Monotone : un seul sens sur l'intervalle.
Le tableau de variations donne les valeurs remarquables de x et les images aux extrémités des flèches.
Question 1 — Si f est croissante sur [0 ; 10] et que 2 < 7, que peut-on dire ?
Question 2 — Sur la courbe du cours, sur quel intervalle f est-elle décroissante en premier ?
Question 3 — Une fonction est décroissante sur [1 ; 5]. On compare f(2) et f(4) :
Quelle a été la température la plus élevée de la journée, et à quelle heure ? Ces deux questions n'ont pas la même réponse : l'une porte sur une VALEUR, l'autre sur l'endroit où elle est atteinte.
Soit f définie sur un intervalle I et a un réel de I. On dit que f admet un MAXIMUM en a sur I lorsque, pour tout x de I, f(x) ⩽ f(a). Le maximum est alors le nombre f(a).
De même, f admet un MINIMUM en b sur I lorsque, pour tout x de I, f(x) ⩾ f(b). Le mot EXTREMUM désigne indifféremment un maximum ou un minimum.
Sur la courbe du paragraphe précédent, le maximum de f sur [−4 ; 4] vaut 5 : il est atteint en x = −2.
Le minimum vaut −1, atteint en x = 0.
Contre-exemple : dire « le maximum est −2 » est une confusion fréquente.
Le nombre −2 est l'ABSCISSE où le maximum est atteint ; le maximum lui-même est l'ORDONNÉE, c'est-à-dire 5.
Méthode — justifier qu'un nombre est le maximum.
1) Je vérifie que toutes les images sont inférieures ou égales à ce nombre.
2) Je vérifie que ce nombre est bien ATTEINT par la fonction.
3) Les deux conditions sont nécessaires : une fonction peut être majorée par 4 sans jamais atteindre 4, auquel cas 4 n'est pas son maximum.
Maximum sur I = la plus grande valeur ATTEINTE par f sur I ; minimum = la plus petite.
On précise toujours la valeur de l'extremum ET l'abscisse où il est atteint.
Question 1 — Sur la courbe du cours, quel est le maximum de f sur [−4 ; 4] ?
Question 2 — Pour tout x de [0 ; 10], f(x) ⩽ 12 et f(4) = 12. Que peut-on dire ?
Question 3 — Une fonction décroît sur [−2 ; 2] puis croît sur [2 ; 5], avec f(2) = −3. Que vaut son minimum sur [−2 ; 5] ?
Un abonnement coûte 8 € par mois plus 0,20 € par minute d'appel. Le prix augmente régulièrement : chaque minute supplémentaire coûte le même supplément. C'est la signature d'une fonction affine, et ce supplément constant, c'est son coefficient directeur.
Une fonction affine s'écrit f(x) = mx + p. Le nombre m est le COEFFICIENT DIRECTEUR, aussi appelé TAUX D'ACCROISSEMENT : quand x augmente de 1, f(x) varie de m.
Le nombre p est l'ORDONNÉE À L'ORIGINE : c'est l'image de 0.
Si m > 0, la fonction est croissante sur ℝ ; si m < 0, elle est décroissante ; si m = 0, elle est constante.
Démonstration (variations d'une fonction affine). Soient x₁ < x₂ deux réels.
f(x₂) − f(x₁) = (mx₂ + p) − (mx₁ + p) = m(x₂ − x₁) : les p se simplifient.
Comme x₂ − x₁ > 0, le signe de cette différence est celui de m. Si m > 0, alors f(x₁) < f(x₂) : la fonction est croissante.
Contre-exemple : f₃(x) = −3 + 2x est CROISSANTE, malgré le −3 en tête.
Il faut identifier le coefficient de x, ici 2 (positif). Le nombre −3 est l'ordonnée à l'origine, il n'a aucun effet sur le sens de variation.
Méthode — décrire une fonction affine.
1) J'écris l'expression sous la forme mx + p.
2) Je lis m : son signe donne le sens de variation.
3) Je lis p : c'est l'image de 0, donc l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées.
f(x) = mx + p : m > 0 → croissante, m < 0 → décroissante, m = 0 → constante.
m est le taux d'accroissement (variation pour x augmenté de 1), p l'ordonnée à l'origine.
Question 1 — La fonction f(x) = −3 + 2x est :
Question 2 — Pour f(x) = 5x − 4, que vaut f(2) − f(1) ?
Question 3 — Dans un abonnement f(x) = 0,2x + 8, que représente le nombre 8 ?
Combien de vases une entreprise doit-elle vendre pour gagner le plus possible ? Vendre peu rapporte peu ; vendre trop coûte cher en production. Entre les deux, il existe un optimum : c'est le maximum d'une fonction.
OPTIMISER, c'est chercher le maximum ou le minimum d'une grandeur modélisée par une fonction, sur l'intervalle imposé par le problème.
Bénéfice B(x), en euros, pour x vases vendus (0 ⩽ x ⩽ 60).
Sur ce graphique, le bénéfice maximal vaut 400 euros et il est atteint pour 30 vases vendus.
On lit aussi que le bénéfice est nul pour 10 vases et pour 50 vases : en dehors de cet intervalle, l'entreprise perd de l'argent.
Méthode — justifier un maximum par le calcul.
1) J'utilise la forme fournie par l'énoncé : ici B(x) = −(x − 30)² + 400.
2) Je remarque que (x − 30)² est toujours positif ou nul, donc −(x − 30)² est toujours négatif ou nul.
3) J'en déduis B(x) ⩽ 400 pour tout x, avec égalité quand x − 30 = 0 : le maximum vaut 400, atteint pour x = 30.
Contre-exemple : lire « le maximum est 30 » sur ce graphique est une erreur.
Le nombre 30 est le nombre de vases (l'abscisse) ; le bénéfice maximal, lui, vaut 400 euros.
Un carré est toujours positif ou nul : c'est l'argument qui justifie la plupart des optimisations de seconde.
−(x − a)² + k : le maximum vaut k, atteint pour x = a. (x − a)² + k : le minimum vaut k, atteint pour x = a.
Question 1 — Sur le graphique du cours, quel est le bénéfice maximal ?
Question 2 — On donne B(x) = −(x − 30)² + 400. Pourquoi B(x) ⩽ 400 ?
Question 3 — Pour A(x) = −2(x − 10)² + 200, quel est le maximum et où est-il atteint ?
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?