Niveau 2ⁿᵈᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : développer et réduire avec les identités remarquables · factoriser avec un facteur commun ou une identité · choisir la forme la plus adaptée d'une expression · calculer avec des expressions fractionnaires et repérer les valeurs interdites.
Depuis la 4e, tu sais développer avec la distributivité : k(a + b) = ka + kb, puis (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Tu sais aussi factoriser quand un facteur commun saute aux yeux. En seconde, ces techniques deviennent des OUTILS que l'on choisit selon ce qu'on cherche.
Développer, c'est transformer un produit en somme : 6(x + 5) = 6x + 30.
Factoriser, c'est l'opération inverse : transformer une somme en produit, 4x − 4y = 4(x − y).
Développer : produit → somme. Factoriser : somme → produit.
Un signe moins devant une parenthèse change TOUS les signes à l'intérieur.
Calcule 101² de tête. En posant la multiplication, c'est long. Mais 101 = 100 + 1, et il existe une formule qui donne directement (100 + 1)² = 10 000 + 200 + 1 = 10 201. Ces formules s'appellent les identités remarquables.
Pour tous réels a et b : (a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a + b)(a − b) = a² − b².
Ces trois égalités se lisent dans les DEUX sens : de gauche à droite pour développer, de droite à gauche pour factoriser.
(x + 3)² = x² + 2 × x × 3 + 3² = x² + 6x + 9.
(3x − 4)² = 9x² − 24x + 16 : ici a = 3x donc a² = 9x², et 2ab = 2 × 3x × 4 = 24x.
(2x − 1)(2x + 1) = 4x² − 1 : seulement deux termes, car les doubles produits se compensent.
Contre-exemple : (x + 3)² n'est pas égal à x² + 9.
Il manque le double produit 2 × x × 3 = 6x. En testant avec x = 1 : (1 + 3)² = 16, alors que 1 + 9 = 10. Les deux écritures sont bien différentes.
Méthode — développer avec une identité.
1) Je repère la forme : carré d'une somme, carré d'une différence ou produit d'une somme par une différence.
2) J'identifie a et b, puis j'écris les trois termes (ou deux pour a² − b²).
3) Je réduis. Exemple : (4x + 6)² = 16x² + 48x + 36, en n'oubliant pas que (4x)² = 16x².
(a + b)² = a² + 2ab + b² · (a − b)² = a² − 2ab + b² · (a + b)(a − b) = a² − b².
Un carré de somme donne TROIS termes, une différence de carrés seulement DEUX.
Question 1 — Quel est le développement de (3x − 9)² ?
Question 2 — Quel est le développement de (2y − 5)(2y + 5) ?
Question 3 — Comment calculer 99² astucieusement ?
Pourquoi factoriser ? Parce qu'un PRODUIT nul se résout d'un coup d'œil : si A × B = 0, alors A = 0 ou B = 0. C'est impossible à voir sur une somme. La forme factorisée est donc la clé des équations.
FACTORISER une expression, c'est l'écrire sous la forme d'un PRODUIT de facteurs.
Deux méthodes : mettre en évidence un facteur commun (ka + kb = k(a + b)), ou reconnaître une identité remarquable lue de droite à gauche.
Facteur commun apparent : 3x² + 9x = 3x(x + 3).
Facteur commun caché : (2x + 1)(x − 3) + (2x + 1) s'écrit (2x + 1)(x − 3) + (2x + 1) × 1 = (2x + 1)(x − 2).
Identité : x² − 100 = (x + 10)(x − 10) et x² + 10x + 25 = (x + 5)².
Contre-exemple : x² + 16 ne se factorise pas avec les identités du programme.
Une SOMME de deux carrés n'est pas une identité remarquable : seule la DIFFÉRENCE a² − b² se factorise.
Méthode — factoriser en deux temps.
1) Je cherche d'abord un facteur commun, même caché : un terme seul vaut « lui-même × 1 », et (x − 1)² vaut (x − 1) × (x − 1).
2) Sinon, je regarde s'il s'agit d'une identité remarquable : trois termes avec un double produit, ou une différence de deux carrés.
3) Je vérifie toujours en redéveloppant mentalement.
Facteur commun d'abord, identité remarquable ensuite.
a² − b² = (a + b)(a − b) ; a² + 2ab + b² = (a + b)² ; a² − 2ab + b² = (a − b)².
Question 1 — Quelle est la forme factorisée de 4x² − 4x + 1 ?
Question 2 — Quelle est la forme factorisée de (x + 4)² − 49 ?
Question 3 — Quel est le facteur commun de (3x + 7)(2x − 9) − (3x + 7)(5x − 7) ?
Une même expression peut s'écrire de plusieurs façons : A = (x + 2)(2x − 1) ou A = 2x² + 3x − 2. Aucune n'est « la bonne » dans l'absolu : tout dépend de la question posée.
La forme DÉVELOPPÉE RÉDUITE est une somme : elle permet de lire les coefficients et de calculer facilement une image.
La forme FACTORISÉE est un produit : elle permet de résoudre l'équation « expression = 0 » et de lire les valeurs qui annulent.
Avec A = (x + 2)(2x − 1) = 2x² + 3x − 2 : pour calculer A quand x = 3, la forme factorisée est la plus rapide : 5 × 5 = 25.
Pour résoudre A = 0, seule la forme factorisée sert : x + 2 = 0 ou 2x − 1 = 0.
Contre-exemple : chercher les solutions de 2x² + 3x − 2 = 0 sur la forme développée est une impasse en seconde.
Il faut d'abord factoriser : sans forme factorisée, on ne sait pas résoudre cette équation.
Méthode — traiter un exercice « développe, factorise, calcule ».
1) Je développe et je réduis la forme donnée : c'est la question de calcul.
2) Je factorise, souvent avec un facteur commun ou une identité.
3) Pour chaque question suivante, je choisis la forme la plus commode : valeur numérique → développée ou factorisée selon les nombres ; équation = 0 → factorisée.
Forme factorisée = produit → pour résoudre « = 0 ».
Forme développée réduite = somme → pour lire les coefficients et calculer.
Question 1 — Pour résoudre l'équation A(x) = 0, quelle forme utiliser ?
Question 2 — On a A = (x + 2)(2x − 1). Que vaut A pour x = 3 ?
Question 3 — On a D = (x + 5)² − 7x(x + 5). Quelle est sa forme factorisée ?
L'expression 5/(2x − 1) a un sens pour presque toutes les valeurs de x… sauf une. Si x vaut 0,5, le dénominateur devient nul et la division est impossible. On dit que 0,5 est une VALEUR INTERDITE.
Une expression fractionnaire n'est définie que si son dénominateur est non nul. Les valeurs de x qui annulent le dénominateur sont les VALEURS INTERDITES.
Pour les trouver, on résout l'équation « dénominateur = 0 ».
Pour (5x + 3)/(4x − 3) : on résout 4x − 3 = 0, donc la valeur interdite est 3/4.
Pour (2x − 1)/3 : le dénominateur est le nombre 3, il n'est jamais nul, l'expression est définie pour tout réel.
Contre-exemple : la valeur interdite de (x + 3)/(2x + 6) est −3, et non « aucune ».
Même si le numérateur s'annule lui aussi pour x = −3, la valeur reste interdite : on ne peut pas diviser par zéro.
Méthode — écrire une somme sous la forme d'une seule fraction.
1) Je détermine un dénominateur commun.
2) Je transforme chaque terme avec ce dénominateur, y compris les termes entiers : 1 = (2x − 1)/(2x − 1).
3) J'additionne les numérateurs, puis je réduis : 5/(2x − 1) + 1 = (5 + 2x − 1)/(2x − 1) = (2x + 4)/(2x − 1).
Valeur interdite = valeur qui annule le dénominateur ; on la trouve en résolvant « dénominateur = 0 ».
Pour additionner, on réduit au même dénominateur ; on ne simplifie que des facteurs.
Question 1 — Quelle est la valeur interdite de (3x − 1)/(4x − 7) ?
Question 2 — Pour quelles valeurs de x l'expression (2x − 1)/3 est-elle définie ?
Question 3 — Que vaut 5/(2x − 1) + 1 sous la forme d'une seule fraction ?
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