Niveau 2ⁿᵈᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : reconnaître et tracer les courbes des fonctions carré, inverse et valeur absolue · donner leurs variations et les démontrer · comparer deux images sans calculatrice · résoudre f(x) = k et f(x) < k pour une fonction de référence.
Tu sais calculer un carré, un inverse, et tu connais la distance à zéro d'un nombre relatif. Tu sais aussi lire un sens de variation sur une courbe. Ces trois outils suffisent pour étudier les fonctions les plus utilisées du lycée.
(−3)² = 9 : le carré d'un nombre négatif est positif.
L'inverse de 4 est 1/4 = 0,25 ; l'inverse de 0 n'existe pas.
Un carré est toujours positif ou nul.
On ne divise jamais par zéro : la fonction inverse n'est pas définie en 0.
L'aire d'un carré de côté x vaut x² : elle augmente très vite quand le côté grandit. Le temps mis pour parcourir 100 km à la vitesse x vaut 100/x : il diminue quand la vitesse augmente. Deux comportements opposés, deux fonctions de référence.
La FONCTION CARRÉ est la fonction définie sur ℝ par f(x) = x². Sa courbe s'appelle une PARABOLE ; elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
La FONCTION INVERSE est la fonction définie sur ℝ privé de 0 par g(x) = 1/x. Sa courbe s'appelle une HYPERBOLE ; elle est formée de DEUX branches et est symétrique par rapport à l'origine.
La parabole : courbe de la fonction carré.
L'hyperbole : courbe de la fonction inverse, en deux branches.
Variations. La fonction carré est DÉCROISSANTE sur ]−∞ ; 0] et CROISSANTE sur [0 ; +∞[ ; elle admet un minimum égal à 0, atteint en x = 0.
La fonction inverse est DÉCROISSANTE sur ]−∞ ; 0[ et décroissante sur ]0 ; +∞[. Elle n'a ni maximum ni minimum.
Démonstration (croissance de la fonction carré sur [0 ; +∞[). Soient 0 ⩽ a < b.
En multipliant a < b par a ⩾ 0 : a² ⩽ ab. En multipliant a < b par b > 0 : ab < b².
Par transitivité, a² < b² : les images sont rangées dans le même ordre, la fonction est croissante.
Contre-exemple : la fonction inverse n'est PAS décroissante sur ℝ privé de 0 tout entier.
En effet −2 < 1 mais 1/(−2) = −0,5 est INFÉRIEUR à 1/1 = 1. Il faut annoncer la décroissance sur CHACUN des deux intervalles séparément.
Carré : parabole, minimum 0 en 0, décroissante puis croissante.
Inverse : hyperbole en deux branches, décroissante sur chaque branche, jamais définie en 0.
Question 1 — Comment s'appelle la courbe de la fonction carré ?
Question 2 — Sur quel intervalle la fonction carré est-elle décroissante ?
Question 3 — Quel est l'ensemble de définition de la fonction inverse ?
Deux villages sont à 7 km d'une gare, l'un à l'est, l'autre à l'ouest. Sur un axe gradué, leurs abscisses sont 7 et −7, mais la DISTANCE à la gare est la même. La valeur absolue est l'outil qui mesure cette distance.
La VALEUR ABSOLUE d'un réel x, notée |x|, est sa distance à zéro sur la droite graduée : |x| = x si x ⩾ 0, et |x| = −x si x < 0.
La FONCTION VALEUR ABSOLUE est définie sur ℝ par f(x) = |x|. Sa courbe est formée de deux demi-droites qui dessinent un V, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Plus généralement, |a − b| est la DISTANCE entre les nombres a et b.
La courbe en V de la fonction valeur absolue.
|5| = 5, |−5| = 5, |0| = 0. La valeur absolue est toujours positive ou nulle.
|3 − 8| = |−5| = 5 : les nombres 3 et 8 sont distants de 5.
Contre-exemple : |−x| n'est pas égal à −|x|.
Pour x = 3 : |−3| = 3 alors que −|3| = −3. Écrire |x| = −x quand x est négatif est correct, mais cela DONNE un résultat positif : pour x = −3, −x = 3.
Méthode — étudier le signe et les variations.
1) La fonction valeur absolue est décroissante sur ]−∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.
2) Elle admet un minimum égal à 0, atteint en x = 0.
3) Elle est positive ou nulle sur ℝ tout entier : sa courbe ne passe jamais sous l'axe des abscisses.
|x| = distance à zéro ; |a − b| = distance entre a et b.
Courbe en V : décroissante puis croissante, minimum 0 en 0, toujours positive ou nulle.
Question 1 — Que vaut |−7| ?
Question 2 — Combien l'équation |x| = 7 a-t-elle de solutions ?
Question 3 — Que représente |a − b| ?
Qui est le plus grand : 1/0,001 ou 1/0,002 ? La calculatrice répond, mais les variations répondent plus vite — et surtout, elles permettent de justifier.
Pour comparer f(a) et f(b), on repère l'INTERVALLE de monotonie auquel appartiennent a et b, puis on applique le sens de variation de la fonction sur cet intervalle.
Méthode — comparer deux images.
1) Je situe les deux nombres l'un par rapport à l'autre et par rapport à 0.
2) Je vérifie qu'ils sont sur le même intervalle de monotonie.
3) J'applique la variation : pour comparer 3² et 5², comme 0 ⩽ 3 < 5 et que le carré est croissant sur [0 ; +∞[, on a 3² < 5².
Sur ]−∞ ; 0], le carré est décroissant : de −5 < −3 on déduit (−5)² > (−3)², c'est-à-dire 25 > 9.
Sur ]0 ; +∞[, l'inverse est décroissant : de 0,001 < 0,002 on déduit 1/0,001 > 1/0,002.
Contre-exemple : de −4 < 3 on ne peut PAS déduire (−4)² < 3².
Les deux nombres sont de part et d'autre de 0, donc sur des intervalles de monotonie différents. D'ailleurs 16 > 9 : l'inégalité est fausse.
Même intervalle de monotonie → j'applique la variation. Signes contraires → je calcule ou je conclus autrement.
0 ⩽ a < b ⟹ a² < b² · a < b < 0 ⟹ a² > b² · 0 < a < b ⟹ 1/a > 1/b.
Question 1 — On sait que 2 < 6. Que peut-on dire de 2² et 6² ?
Question 2 — On sait que −5 < −3. Que peut-on dire de (−5)² et (−3)² ?
Question 3 — On sait que 0 < 4 < 9. Que peut-on dire de 1/4 et 1/9 ?
Pour quelles valeurs du côté l'aire d'un carré dépasse-t-elle 16 cm² ? Autrement dit : quand a-t-on x² > 16 ? Les fonctions de référence permettent de répondre exactement, sans tâtonner.
Pour une fonction de référence, on résout f(x) = k et f(x) < k en s'appuyant sur la COURBE (lecture des abscisses) ou sur les VARIATIONS (raisonnement algébrique).
On utilise aussi les fonctions RACINE CARRÉE, définie et croissante sur [0 ; +∞[, et CUBE, croissante sur ℝ.
Méthode — résoudre une équation avec une fonction de référence.
1) x² = 16 : deux solutions opposées, x = 4 ou x = −4.
2) 1/x = 2 : je multiplie par x (non nul), j'obtiens 1 = 2x, donc x = 0,5.
3) |x| = 3 : deux solutions, x = 3 ou x = −3. Et |x| = −4 n'a aucune solution, car une valeur absolue n'est jamais négative.
Méthode — résoudre une inéquation.
1) x² < 9 : la parabole est sous la droite y = 9 entre les deux solutions, donc S = ]−3 ; 3[.
2) x² > 16 : la parabole est au-dessus à l'extérieur, donc S = ]−∞ ; −4[ ∪ ]4 ; +∞[.
3) 1/x > 0 : l'hyperbole est au-dessus de l'axe seulement sur la branche de droite, donc S = ]0 ; +∞[.
Contre-exemple : la solution de x² < 9 n'est pas x < 3.
Le nombre −5 vérifie bien −5 < 3, pourtant (−5)² = 25 n'est pas inférieur à 9. Il faut ENCADRER : −3 < x < 3.
x² = k (k > 0) → x = √k ou x = −√k · x² < k → ]−√k ; √k[ · x² > k → ]−∞ ; −√k[ ∪ ]√k ; +∞[.
|x| = k (k > 0) → deux solutions opposées ; |x| = k (k < 0) → aucune solution.
Question 1 — Quelles sont les solutions de l'équation x² = 25 ?
Question 2 — Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation x² < 9 ?
Question 3 — Combien l'équation |x| = −4 a-t-elle de solutions ?
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?