Niveau 2ⁿᵈᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : reconnaître des vecteurs égaux et construire un représentant · additionner deux vecteurs et utiliser la relation de Chasles · calculer les coordonnées d'un vecteur · calculer une norme, une distance et les coordonnées d'un milieu.
Tu connais la translation depuis le collège : elle fait glisser une figure dans une direction donnée, sans la tourner ni la déformer. Tu sais aussi lire des coordonnées dans un repère et appliquer le théorème de Pythagore. Le vecteur est l'outil qui réunit tout cela.
Une translation est décrite par trois informations : une direction, un sens et une longueur.
Ces trois informations, c'est exactement ce que porte un vecteur.
Un vecteur code un déplacement : direction, sens, longueur.
Dans un repère orthonormé, les deux axes sont perpendiculaires et gradués avec la même unité.
Sur un plan de ville, « avancer de 300 m vers le nord » décrit le même déplacement quel que soit l'endroit d'où l'on part. Le vecteur, c'est ce déplacement — pas la flèche particulière qui le dessine.
Le VECTEUR AB⃗, noté aussi « vecteur AB », est défini par la translation qui transforme A en B. Le point A est son origine, le point B son extrémité.
Deux vecteurs sont ÉGAUX lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. Chaque flèche qui dessine un vecteur en est un REPRÉSENTANT : un même vecteur en possède une infinité.
Le VECTEUR NUL, noté 0⃗, est le vecteur AA⃗ : il n'a ni direction ni sens et sa longueur est nulle. Le vecteur OPPOSÉ de AB⃗ est BA⃗.
Dans le parallélogramme ABCD : AB⃗ = DC⃗ et AD⃗ = BC⃗.
Propriété clé : ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB⃗ = DC⃗.
Attention à l'ordre des lettres : dans le parallélogramme ABCD, les côtés [AB] et [DC] se correspondent, pas [AB] et [CD].
Contre-exemple : AB⃗ et BA⃗ ne sont PAS égaux.
Ils ont la même direction et la même longueur, mais des sens OPPOSÉS : ce sont deux vecteurs opposés, et leur somme est le vecteur nul.
Méthode — construire le point M tel que AM⃗ = u⃗.
1) Je repère le déplacement porté par u⃗ (par exemple 3 carreaux à droite et 1 vers le haut).
2) Je pars de A et j'effectue exactement ce déplacement.
3) J'obtiens M : le représentant de u⃗ d'origine A est unique.
Égalité de vecteurs : même direction, même sens, même longueur.
ABCD parallélogramme ⟺ AB⃗ = DC⃗. Vecteur opposé de AB⃗ : BA⃗. Vecteur nul : AA⃗ = 0⃗.
Question 1 — Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont :
Question 2 — Dans le parallélogramme ABCD, à quel vecteur le vecteur AB est-il égal ?
Question 3 — Quel est le vecteur opposé du vecteur AB ?
Un randonneur marche 3 km vers l'est, puis 2 km vers le nord. Son déplacement total n'est pas 5 km : c'est un seul déplacement en diagonale, qui se lit directement en enchaînant les deux flèches.
RELATION DE CHASLES : pour trois points A, B et C quelconques, AB⃗ + BC⃗ = AC⃗. On enchaîne les déplacements : l'extrémité du premier vecteur est l'origine du second.
RÈGLE DU PARALLÉLOGRAMME : si les deux vecteurs partent du même point A, leur somme est la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs.
CARACTÉRISATION DU MILIEU : I est le milieu de [AB] si et seulement si AI⃗ = IB⃗, ce qui équivaut aussi à IA⃗ + IB⃗ = 0⃗.
La relation de Chasles : AB⃗ + BC⃗ = AC⃗.
Méthode — simplifier une écriture vectorielle.
1) Je cherche deux vecteurs qui s'enchaînent, c'est-à-dire dont la lettre du milieu est commune.
2) Je les remplace par un seul vecteur : MN⃗ + NP⃗ = MP⃗.
3) Je recommence tant que c'est possible. Ainsi AB⃗ + BC⃗ + CD⃗ = AD⃗.
Contre-exemple : AB⃗ + CD⃗ ne se simplifie pas directement.
Les lettres ne s'enchaînent pas (B puis C). Il faut d'abord remplacer CD⃗ par un vecteur égal d'origine B, ou passer par un point intermédiaire.
Avec le milieu : si I est le milieu de [AB], alors AB⃗ = 2 AI⃗ et AI⃗ = IB⃗.
En revanche AI⃗ = BI⃗ est FAUX : ces deux vecteurs sont opposés.
Chasles : AB⃗ + BC⃗ = AC⃗ — la lettre du milieu disparaît.
I milieu de [AB] ⟺ AI⃗ = IB⃗ ⟺ IA⃗ + IB⃗ = 0⃗.
Question 1 — À quoi est égale la somme des vecteurs AB et BC ?
Question 2 — Que vaut la somme des vecteurs AB, BC et CD ?
Question 3 — I est le milieu de [AB]. Laquelle de ces égalités est vraie ?
Dessiner une flèche suffit pour comprendre, mais pas pour calculer. Dans un repère, un vecteur se résume à deux nombres : le déplacement horizontal et le déplacement vertical.
Dans un repère (O ; i⃗, j⃗), tout vecteur u⃗ s'écrit de façon unique u⃗ = x i⃗ + y j⃗. Le couple (x ; y) est le couple de COORDONNÉES de u⃗.
Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), les coordonnées du vecteur AB⃗ sont (xB − xA ; yB − yA) : coordonnées de l'ARRIVÉE moins celles du DÉPART.
Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées. On additionne deux vecteurs en additionnant leurs coordonnées.
Méthode — calculer les coordonnées d'un vecteur.
1) J'identifie le point de départ et le point d'arrivée.
2) Je soustrais : pour C(−1 ; 4) et D(3 ; −2), CD⃗ = (3 − (−1) ; −2 − 4) = (4 ; −6).
3) Je vérifie avec le vecteur opposé : DC⃗ = (−4 ; 6), ce sont bien les coordonnées opposées.
Contre-exemple : les coordonnées de CD⃗ ne sont pas (−1 − 3 ; 4 − (−2)).
Ce calcul soustrait l'arrivée du départ : il donne les coordonnées de DC⃗, c'est-à-dire le vecteur opposé.
Somme : si u⃗(3 ; −1) et v⃗(−5 ; 4), alors u⃗ + v⃗ = (3 + (−5) ; −1 + 4) = (−2 ; 3).
Décomposition : le vecteur w⃗(2 ; −7) s'écrit w⃗ = 2 i⃗ − 7 j⃗.
AB⃗ = (xB − xA ; yB − yA) — arrivée moins départ.
Somme : on additionne les coordonnées. Égalité : mêmes coordonnées.
Question 1 — A(2 ; 5) et B(6 ; 1). Quelles sont les coordonnées du vecteur AB ?
Question 2 — C(−1 ; 4) et D(3 ; −2). Quelles sont les coordonnées du vecteur CD ?
Question 3 — u⃗(3 ; −1) et v⃗(−5 ; 4). Quelles sont les coordonnées de u⃗ + v⃗ ?
Deux bateaux sont repérés par leurs coordonnées sur une carte. Quelle distance les sépare ? Le déplacement de l'un vers l'autre est l'hypoténuse d'un triangle rectangle : Pythagore répond.
Dans un repère ORTHONORMÉ, la NORME du vecteur u⃗(x ; y), notée ‖u⃗‖, est sa longueur : ‖u⃗‖ = √(x² + y²).
La DISTANCE entre A(xA ; yA) et B(xB ; yB) vaut donc AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²).
Le MILIEU I de [AB] a pour coordonnées ((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2) : on fait la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées.
Méthode — calculer une distance.
1) Je calcule les coordonnées du vecteur : pour A(2 ; 5) et B(6 ; 1), AB⃗ = (4 ; −4).
2) J'élève chaque coordonnée au carré et j'additionne : 16 + 16 = 32.
3) Je prends la racine : AB = √32 = 4√2 ≈ 5,66. On donne la valeur EXACTE quand c'est possible.
Milieu : pour A(2 ; 5) et B(6 ; 1), le milieu de [AB] a pour coordonnées ((2 + 6)/2 ; (5 + 1)/2) = (4 ; 3).
Ce point est bien « au centre » : il est à égale distance de A et de B.
Contre-exemple : la distance AB n'est pas |xB − xA| + |yB − yA|.
Cette somme, ici 4 + 4 = 8, correspond au trajet « en escalier » le long des axes. La distance à vol d'oiseau vaut √32 ≈ 5,66 : elle est plus courte.
‖u⃗‖ = √(x² + y²) et AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²) — c'est Pythagore dans le repère.
Milieu de [AB] : moyenne des abscisses, moyenne des ordonnées.
Question 1 — Quelle est la norme du vecteur u⃗(3 ; 4) dans un repère orthonormé ?
Question 2 — A(2 ; 5) et B(6 ; 1). Que vaut la distance AB ?
Question 3 — Quelles sont les coordonnées du milieu de [AB] avec A(2 ; 5) et B(6 ; 1) ?
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