Niveau 2ⁿᵈᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : calculer une proportion et un pourcentage de pourcentage · distinguer variation absolue et taux d'évolution · utiliser un coefficient multiplicateur · enchaîner deux évolutions et calculer une évolution réciproque.
Tu sais déjà prendre 15 % d'un nombre et appliquer une augmentation. En seconde, on met de l'ordre dans tout cela avec un seul outil, le COEFFICIENT MULTIPLICATEUR, qui évite la plupart des erreurs classiques.
Prendre 15 % de 240, c'est calculer 0,15 × 240 = 36.
Un pourcentage est une proportion écrite sur 100 : 15 % = 15/100 = 0,15.
Un pourcentage est un nombre écrit sur 100 : t % = t/100.
« De » signifie « multiplié par » : 15 % de 240 = 0,15 × 240.
Dans un lycée de 800 élèves, 320 sont en seconde ; parmi eux, 25 % sont demi-pensionnaires. Combien cela fait-il d'élèves dans tout le lycée ? Répondre demande de savoir composer deux proportions.
La PROPORTION d'une sous-population A dans une population E est le quotient p = effectif de A / effectif de E. C'est un nombre compris entre 0 et 1, que l'on exprime souvent en POURCENTAGE en le multipliant par 100.
Le POURCENTAGE DE POURCENTAGE (ou proportion de proportion) s'obtient en MULTIPLIANT les deux proportions : la proportion d'une sous-partie d'une partie s'obtient par produit.
Méthode — calculer une proportion.
1) J'identifie la sous-population et la population de référence.
2) Je divise : 320/800 = 0,4.
3) Je convertis en pourcentage : 0,4 × 100 = 40 %. Les élèves de seconde représentent 40 % du lycée.
Pourcentage de pourcentage : 25 % des 40 % d'élèves de seconde sont demi-pensionnaires.
0,25 × 0,4 = 0,1, soit 10 % du lycée. On peut vérifier : 0,25 × 320 = 80 élèves, et 80/800 = 0,1 ✓.
Contre-exemple : on n'ADDITIONNE pas 25 % et 40 %.
Écrire 65 % n'a aucun sens ici : les deux pourcentages ne portent pas sur la même population de référence. L'un porte sur le lycée, l'autre sur les seuls élèves de seconde.
Proportion = partie / total ; pourcentage = proportion × 100.
Proportion d'une sous-partie : on MULTIPLIE les proportions.
Question 1 — Dans un lycée de 800 élèves, 320 sont en seconde. Quelle proportion cela représente-t-il ?
Question 2 — 25 % des 40 % d'élèves de seconde sont demi-pensionnaires. Quelle part du lycée cela fait-il ?
Question 3 — Un article coûte 60 €. Combien vaut 15 % de son prix ?
Un loyer passe de 500 € à 540 € : il augmente de 40 €. Un autre passe de 1 000 € à 1 040 € : lui aussi augmente de 40 €. Pourtant la hausse n'a pas le même poids. Pour comparer, il faut un TAUX.
La VARIATION ABSOLUE entre une valeur initiale V₁ et une valeur finale V₂ est la différence V₂ − V₁ : elle s'exprime dans l'unité de la grandeur.
Le TAUX D'ÉVOLUTION est le quotient t = (V₂ − V₁)/V₁, souvent exprimé en pourcentage. Il est positif pour une hausse, négatif pour une baisse.
Le COEFFICIENT MULTIPLICATEUR est le nombre CM = V₂/V₁ = 1 + t. On passe de V₁ à V₂ en multipliant par CM.
Méthode — calculer un taux d'évolution.
1) Je calcule la variation absolue : 540 − 500 = 40 €.
2) Je divise par la valeur INITIALE : 40/500 = 0,08.
3) Je convertis : le loyer a augmenté de 8 %. Le coefficient multiplicateur vaut 1,08.
Une baisse de 20 % correspond à CM = 1 − 0,20 = 0,80 ; une hausse de 35 % correspond à CM = 1,35.
Réciproquement, un coefficient de 0,93 signifie une BAISSE de 7 %, et un coefficient de 2 une hausse de 100 %.
Contre-exemple : le taux d'évolution ne se calcule pas en divisant par la valeur finale.
Ici 40/540 ≈ 0,074, soit 7,4 % : ce n'est pas le bon taux. On divise TOUJOURS par la valeur de départ.
t = (V₂ − V₁)/V₁ et CM = 1 + t ; on divise toujours par la valeur INITIALE.
Hausse de t % → CM = 1 + t/100. Baisse de t % → CM = 1 − t/100.
Question 1 — Un loyer passe de 500 € à 540 €. Quel est le taux d'évolution ?
Question 2 — Quel est le coefficient multiplicateur d'une baisse de 20 % ?
Question 3 — Un prix est multiplié par 1,35. Que s'est-il passé ?
Un article augmente de 20 %, puis baisse de 20 % pendant les soldes. Beaucoup pensent qu'il revient à son prix initial. C'est faux — et le coefficient multiplicateur explique pourquoi en une ligne.
Lorsque deux évolutions se SUCCÈDENT, le coefficient multiplicateur global est le PRODUIT des coefficients : CM_global = CM₁ × CM₂. Le taux global s'en déduit par t = CM_global − 1.
L'ÉVOLUTION RÉCIPROQUE est celle qui ramène à la valeur de départ : son coefficient est l'INVERSE, CM_réciproque = 1/CM.
Méthode — calculer un taux global.
1) Je traduis chaque évolution en coefficient : +20 % donne 1,2 et −20 % donne 0,8.
2) Je multiplie : 1,2 × 0,8 = 0,96.
3) Je conclus : CM global 0,96, soit une BAISSE de 4 %. L'article est finalement moins cher qu'au départ.
Méthode — trouver l'évolution réciproque.
1) Après une hausse de 25 %, le coefficient vaut 1,25.
2) Je calcule l'inverse : 1/1,25 = 0,8.
3) Je traduis : il faut une BAISSE de 20 % pour revenir au prix initial. Une baisse de 25 % ne suffirait pas.
Contre-exemple : les taux ne s'AJOUTENT pas.
Une hausse de 20 % suivie d'une hausse de 30 % ne donne pas +50 % mais 1,2 × 1,3 = 1,56, soit +56 %. L'écart vient du fait que la seconde hausse s'applique à une valeur déjà augmentée.
Successives : CM_global = CM₁ × CM₂, puis t = CM − 1.
Réciproque : CM = 1/CM_initial. +25 % ⟷ −20 %.
Question 1 — Un prix augmente de 20 % puis baisse de 20 %. Que se passe-t-il au total ?
Question 2 — Quelle évolution annule une hausse de 25 % ?
Question 3 — Deux hausses successives de 20 % puis 30 % donnent au total :
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?