Niveau 2ⁿᵈᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : résoudre une équation du premier degré et écrire l'ensemble des solutions · résoudre une équation produit nul · résoudre une équation quotient en tenant compte des valeurs interdites · résoudre x² = a · isoler une variable dans une formule.
En 3e, tu résolvais des équations comme 5x − 2 = 4x + 1 en regroupant les x d'un côté. Cette technique reste valable. Ce qui change en seconde, c'est la rigueur de la rédaction : on précise toujours l'ENSEMBLE des solutions, et on vérifie qu'une solution trouvée est bien acceptable.
Un nombre est solution d'une équation s'il rend l'égalité vraie.
Pour 5x − 2 = 4x + 1 et x = 3 : à gauche 5 × 3 − 2 = 13, à droite 4 × 3 + 1 = 13. Les deux membres sont égaux : 3 est solution.
Résoudre une équation, c'est trouver TOUTES les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie.
On peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.
Une famille achète 4 places plein tarif et 3 places à tarif réduit pour 61,50 €, sachant qu'une place plein tarif coûte 3 € de plus. Mettre ce problème en équation, c'est nommer l'inconnue x, écrire l'égalité 4(x + 3) + 3x = 61,5 puis la résoudre.
Résoudre une équation dans ℝ, c'est déterminer l'ENSEMBLE de ses solutions, noté S.
Une équation du premier degré ax + b = 0 avec a non nul admet une unique solution : S = {−b/a}.
Méthode — résoudre une équation du premier degré.
1) Je développe les deux membres s'il y a des parenthèses.
2) Je regroupe les termes en x d'un côté, les nombres de l'autre.
3) Je divise par le coefficient de x et j'écris l'ensemble des solutions. Exemple : −5x + 3 = −3x + 2 donne −2x = −1, donc S = {1/2}.
Contre-exemple : certaines équations n'ont aucune solution.
2x + 3 = 2x + 5 se réduit à 3 = 5, ce qui est faux : aucune valeur ne convient, donc S = ∅.
À l'inverse, 3(x + 1) = 3x + 3 se réduit à 3 = 3, toujours vrai : tous les réels conviennent, donc S = ℝ.
On regroupe les x d'un côté, les nombres de l'autre, puis on divise par le coefficient de x.
On écrit toujours la conclusion sous la forme S = {…}, S = ∅ ou S = ℝ.
Question 1 — Quelle est la solution de −5x + 3 = −3x + 2 ?
Question 2 — Quel est l'ensemble des solutions de 2x + 3 = 2x + 5 ?
Question 3 — Quel est l'ensemble des solutions de 3(x + 1) = 3x + 3 ?
Comment résoudre (3x + 1)(x − 5) = 0 ? Développer donnerait une équation du second degré, qu'on ne sait pas résoudre directement. Mais il existe une propriété très puissante : pour qu'un produit soit nul, il suffit qu'un seul de ses facteurs le soit.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : si A × B = 0, alors A = 0 ou B = 0.
Méthode — résoudre une équation produit nul.
1) Je vérifie que l'équation est bien de la forme « produit = 0 » (si nécessaire, je factorise d'abord).
2) J'écris que chaque facteur peut être nul, et je résous les petites équations obtenues.
3) Je rassemble : pour (3x + 1)(x − 5) = 0, on a x = −1/3 ou x = 5, donc S = {−1/3 ; 5}.
Contre-exemple : (3x + 1)(x − 5) = 12 ne se traite PAS ainsi.
La propriété ne vaut que pour un produit égal à ZÉRO. Ici, il faudrait tout ramener d'un côté puis factoriser, ce qui dépasse l'énoncé.
Factoriser d'abord : 5x² − 4x = 0 s'écrit x(5x − 4) = 0.
Les solutions sont donc x = 0 et x = 4/5 : S = {0 ; 4/5}. Attention à ne pas « simplifier par x », ce qui ferait perdre la solution 0.
A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0.
Si l'équation n'est pas déjà un produit, on factorise avant d'appliquer la règle.
Question 1 — Quel est l'ensemble des solutions de (x − 2)(x + 7) = 0 ?
Question 2 — Quelles sont les solutions de x(5x − 4) = 0 ?
Question 3 — Que faire avant de résoudre (3x + 2)(4x − 2) + (4x − 2)(x − 6) = 0 ?
L'équation (3x + 5)/(x − 1) = 0 ressemble à une équation ordinaire, mais une précaution s'impose : pour x = 1, l'expression n'existe même pas. Toute résolution commence donc par la recherche des valeurs interdites.
Un quotient A/B est nul si et seulement si son NUMÉRATEUR est nul ET son dénominateur non nul.
Les valeurs qui annulent le dénominateur sont les VALEURS INTERDITES : elles ne peuvent jamais être solutions.
Méthode — résoudre une équation quotient.
1) Je cherche les valeurs interdites en résolvant « dénominateur = 0 ».
2) Je résous « numérateur = 0 ».
3) J'élimine les solutions qui sont des valeurs interdites. Pour (3x + 5)/(x − 1) = 0 : valeur interdite 1, numérateur nul pour x = −5/3, donc S = {−5/3}.
Contre-exemple : pour (x² − 9)/(x + 3) = 0, on ne trouve PAS deux solutions.
Le numérateur s'annule pour x = 3 et x = −3, mais −3 est la valeur interdite : il faut l'écarter. L'ensemble des solutions est donc S = {3}.
Quand le quotient est égal à un nombre k, on multiplie les deux membres par le dénominateur.
Pour (3x − 1)/(x + 2) = 2 (valeur interdite −2) : 3x − 1 = 2(x + 2), donc 3x − 1 = 2x + 4 et x = 5. Comme 5 n'est pas interdit, S = {5}.
A/B = 0 ⇔ A = 0 ET B ≠ 0 : on cherche d'abord les valeurs interdites.
Pour A/B = k, on multiplie par B (non nul), puis on résout l'équation du premier degré obtenue.
Question 1 — Quelle est la valeur interdite de (2x + 1)/(x − 4) = 0 ?
Question 2 — Quel est l'ensemble des solutions de (x² − 9)/(x + 3) = 0 ?
Question 3 — Comment résoudre (3x − 1)/(x + 2) = 2 ?
Un terrain carré a une aire de 17 m². Quel est son côté ? Il faut résoudre c² = 17. La calculatrice donne √17 ≈ 4,12, mais attention : l'équation a en réalité DEUX solutions, dont une seule convient au problème.
Soit a un réel. L'équation x² = a admet : deux solutions opposées −√a et √a si a > 0 ; une seule solution 0 si a = 0 ; aucune solution si a < 0.
x² = 16 donne S = {−4 ; 4} · x² = 0 donne S = {0} · x² = −8 donne S = ∅.
x² = 20 donne S = {−2√5 ; 2√5}, car √20 = 2√5 : c'est la valeur exacte.
Contre-exemple : la solution de x² = 16 n'est pas seulement 4.
En effet (−4)² = 16 aussi : oublier la solution négative est l'erreur la plus fréquente de ce chapitre.
Méthode — se ramener à la forme x² = a.
1) J'isole le carré : 9x² − 36 = 0 devient 9x² = 36, donc x² = 4.
2) J'applique la propriété : S = {−2 ; 2}.
3) Variante : si l'énoncé porte sur (x + 2)² = 9, alors x + 2 vaut 3 ou −3, d'où x = 1 ou x = −5.
x² = a : deux solutions opposées si a > 0, une seule si a = 0, aucune si a < 0.
Dans un problème de géométrie ou de physique, on ne garde que la solution qui a un sens.
Question 1 — Combien l'équation x² = 7 admet-elle de solutions ?
Question 2 — Quel est l'ensemble des solutions de x² = −5 ?
Question 3 — Quelles sont les solutions de (x + 2)² = 9 ?
En physique, la loi d'Ohm s'écrit U = R × I. Si on connaît la tension et la résistance, comment obtenir l'intensité ? Il faut transformer la formule pour isoler la lettre cherchée : c'est le même travail que résoudre une équation, avec des lettres à la place des nombres.
ISOLER une variable dans une égalité, c'est transformer cette égalité pour l'écrire sous la forme « variable = expression des autres lettres ».
On utilise les mêmes règles que pour une équation : on peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser les deux membres par une même quantité non nulle.
Méthode — isoler une variable.
1) Je repère la lettre à isoler et je regarde ce qui la gêne.
2) J'élimine ces gêneurs un par un, en faisant la même opération des deux côtés.
3) Exemple avec U = RI : je divise par R (non nul), ce qui donne I = U/R.
Autre exemple : V = πr²h. Pour isoler h, je divise par πr² : h = V/(πr²).
Avec 3x − 6y = 2 : je passe 3x à droite, −6y = −3x + 2, puis je divise par −6 : y = (1/2)x − 1/3.
Contre-exemple : dans S = πr², on n'obtient pas r = S/π.
La lettre r est au CARRÉ : après division, on a r² = S/π, puis seulement r = √(S/π) (un rayon étant positif).
Isoler une variable = mêmes règles qu'une équation, appliquées aux deux membres.
U = RI → I = U/R · d = vt → t = d/v · V = πr²h → h = V/(πr²) · S = πr² → r = √(S/π).
Question 1 — Dans la formule d = v × t, comment exprimer t ?
Question 2 — Dans 3x − 6y = 2, quelle est l'expression de y en fonction de x ?
Question 3 — Dans S = πr² (r positif), comment exprimer r ?
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?