Niveau 2ⁿᵈᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : déterminer l'équation réduite d'une droite · reconnaître un vecteur directeur et passer d'une équation cartésienne à l'équation réduite · tracer une droite à partir de son équation · déterminer si deux droites sont parallèles ou sécantes et calculer leur point d'intersection.
En 3e, tu as tracé des droites d'équation y = mx + p et lu leur coefficient directeur. En seconde, on complète : toutes les droites reçoivent une équation — y compris les verticales — et les vecteurs entrent dans la danse.
Dans y = 3x − 2, le nombre 3 est le coefficient directeur et −2 l'ordonnée à l'origine.
La droite passe par le point de coordonnées (0 ; −2) et monte de 3 quand x augmente de 1.
Une droite non verticale a une équation de la forme y = mx + p.
Un point appartient à une droite si ses coordonnées vérifient l'équation de cette droite.
Un télésiège monte de 60 m de dénivelé pour 200 m parcourus à l'horizontale : sa pente vaut 60/200 = 0,3. Cette idée de pente est exactement celle du coefficient directeur d'une droite.
Toute droite NON VERTICALE admet une unique ÉQUATION RÉDUITE de la forme y = mx + p, où m est le COEFFICIENT DIRECTEUR (ou pente) et p l'ORDONNÉE À L'ORIGINE.
Une droite VERTICALE a une équation de la forme x = c : elle n'a pas de coefficient directeur.
Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB) sont deux points d'abscisses différentes de la droite, alors m = (yB − yA)/(xB − xA).
Méthode — trouver l'équation réduite à partir de deux points.
1) Je calcule la pente : pour A(1 ; 2) et B(3 ; 5), m = (5 − 2)/(3 − 1) = 3/2 = 1,5.
2) J'écris y = 1,5x + p, puis je remplace par les coordonnées d'un point : 2 = 1,5 × 1 + p, donc p = 0,5.
3) Je conclus : l'équation réduite est y = 1,5x + 0,5. Je vérifie avec l'autre point : 1,5 × 3 + 0,5 = 5 ✓.
Contre-exemple : la droite passant par (3 ; 1) et (3 ; 7) n'a pas d'équation de la forme y = mx + p.
Les deux points ont la même abscisse : la droite est VERTICALE et son équation est x = 3. Le calcul de la pente donnerait une division par zéro.
Lecture graphique : je repère l'ordonnée à l'origine, puis je me déplace de 1 vers la droite et je lis la montée.
Une montée de 2 pour 1 vers la droite donne m = 2 ; une descente de 3 donne m = −3.
y = mx + p : m = pente, p = ordonnée à l'origine. Vertical : x = c.
m = (yB − yA)/(xB − xA), puis on trouve p en remplaçant par un point.
Question 1 — Quelle est la pente de la droite passant par A(1 ; 2) et B(3 ; 5) ?
Question 2 — Quelle est l'équation de la droite passant par (3 ; 1) et (3 ; 7) ?
Question 3 — Dans l'équation y = −4x + 7, que vaut l'ordonnée à l'origine ?
La forme y = mx + p laisse de côté les droites verticales. L'écriture ax + by + c = 0, elle, décrit TOUTES les droites du plan sans exception : c'est pour cela qu'on l'introduit.
Un VECTEUR DIRECTEUR d'une droite d est un vecteur non nul dont la direction est celle de d. Si A et B sont deux points distincts de d, le vecteur AB⃗ en est un.
Toute droite admet une ÉQUATION CARTÉSIENNE de la forme ax + by + c = 0, avec a et b non tous les deux nuls. Le vecteur u⃗(−b ; a) en est alors un vecteur directeur.
Réciproquement, une droite de vecteur directeur u⃗(α ; β) et non verticale a pour coefficient directeur m = β/α.
La droite d passe par A(1 ; 2) et B(3 ; 5) : AB⃗(2 ; 3) en est un vecteur directeur, et m = 3/2.
Méthode — passer d'une équation cartésienne à l'équation réduite.
1) Je pars de 3x + 2y − 6 = 0 et j'isole le terme en y : 2y = −3x + 6.
2) Je divise les DEUX membres par 2 : y = −1,5x + 3.
3) Je lis : pente −1,5, ordonnée à l'origine 3. Un vecteur directeur est u⃗(−2 ; 3), car a = 3 et b = 2.
Contre-exemple : le vecteur directeur de la droite d'équation 3x + 2y − 6 = 0 n'est pas (3 ; 2).
Les coefficients a et b donnent le vecteur (−b ; a) = (−2 ; 3). Vérification : ce vecteur a pour « pente » 3/(−2) = −1,5, ce qui correspond bien au coefficient directeur trouvé.
Une même droite a une infinité d'équations cartésiennes : 3x + 2y − 6 = 0 et 6x + 4y − 12 = 0 décrivent la même droite.
De même, tous les vecteurs colinéaires à u⃗(−2 ; 3) sont des vecteurs directeurs de cette droite.
ax + by + c = 0 : vecteur directeur u⃗(−b ; a). Toutes les droites, verticales comprises, ont une telle équation.
Vecteur directeur (α ; β) avec α ≠ 0 → coefficient directeur m = β/α.
Question 1 — Quel est un vecteur directeur de la droite d'équation 3x + 2y − 6 = 0 ?
Question 2 — Quelle est l'équation réduite de la droite 3x + 2y − 6 = 0 ?
Question 3 — Une droite a pour vecteur directeur u⃗(2 ; 3). Quel est son coefficient directeur ?
Deux points suffisent pour tracer une droite. Le tout est de les choisir bien lisibles — et surtout bien éloignés l'un de l'autre, pour que la moindre imprécision ne fasse pas pivoter le tracé.
Un point appartient à une droite si et seulement si ses coordonnées VÉRIFIENT l'équation de cette droite.
Trois points sont ALIGNÉS lorsqu'ils appartiennent à une même droite : on peut le prouver avec une équation, ou avec un déterminant nul.
Méthode — tracer la droite d'équation y = 2x − 3.
1) Je choisis deux valeurs de x simples et éloignées, par exemple 0 et 3.
2) Je calcule les images : y = −3 et y = 3, ce qui donne les points (0 ; −3) et (3 ; 3).
3) Je place les deux points et je trace la droite qui les joint.
Méthode — tester l'appartenance d'un point.
1) Je remplace x et y par les coordonnées du point dans l'équation.
2) Pour C(4 ; 5) et y = 2x − 3 : 2 × 4 − 3 = 5 ✓, donc C appartient à la droite.
3) Pour D(−1 ; 0) : 2 × (−1) − 3 = −5 ≠ 0, donc D n'y appartient pas.
Contre-exemple : « le point est sur la droite parce qu'il a l'air d'y être » ne démontre rien.
Une lecture graphique peut tromper d'un demi-carreau : seule la vérification par le calcul constitue une preuve.
Deux points bien choisis suffisent à tracer une droite.
Appartenance : on remplace, on compare. Alignement : trois points sur une même droite, ou déterminant nul.
Question 1 — Le point C(4 ; 5) appartient-il à la droite d'équation y = 2x − 3 ?
Question 2 — Combien de points suffisent pour tracer une droite ?
Question 3 — Comment prouver que A, B et C sont alignés dans un repère ?
Deux tarifs de location, deux droites : se croisent-elles ? Le point d'intersection donne le nombre de jours à partir duquel l'offre la plus chère au départ devient la plus avantageuse.
Deux droites d'équations réduites y = mx + p et y = m'x + p' sont PARALLÈLES si et seulement si m = m'. Elles sont alors confondues si p = p', strictement parallèles sinon.
Si m ≠ m', elles sont SÉCANTES en un unique point, dont on trouve l'abscisse en résolvant l'équation mx + p = m'x + p'.
Avec des équations cartésiennes, les droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, c'est-à-dire si le déterminant correspondant est nul.
d₁ : y = 2x − 1 et d₂ : y = −0,5x + 4 se coupent en I(2 ; 3).
Méthode — calculer le point d'intersection.
1) Je vérifie que les pentes sont différentes : 2 ≠ −0,5, les droites sont sécantes.
2) J'égale les deux expressions : 2x − 1 = −0,5x + 4, donc 2,5x = 5 et x = 2.
3) Je calcule l'ordonnée avec l'une des deux équations : y = 2 × 2 − 1 = 3. Le point d'intersection est I(2 ; 3). Je vérifie avec l'autre équation : −0,5 × 2 + 4 = 3 ✓.
Contre-exemple : y = 3x + 1 et y = 3x − 4 n'ont AUCUN point commun.
Les pentes sont égales et les ordonnées à l'origine différentes : les droites sont strictement parallèles. Chercher leur intersection conduirait à 1 = −4, ce qui est impossible.
Cas des droites confondues : y = 2x + 5 et 4x − 2y + 10 = 0.
En réduisant la seconde : 2y = 4x + 10, donc y = 2x + 5. Les deux équations décrivent la MÊME droite : elle ont une infinité de points communs.
m = m' → parallèles (confondues si p = p'). m ≠ m' → sécantes en un point unique.
Intersection : on égale les deux expressions de y, on résout, puis on calcule l'ordonnée.
Question 1 — Les droites y = 3x + 1 et y = 3x − 4 sont :
Question 2 — Quel est le point d'intersection de y = 2x − 1 et y = −0,5x + 4 ?
Question 3 — Les droites y = 2x + 5 et 4x − 2y + 10 = 0 sont :
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