Niveau 2ⁿᵈᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : utiliser les règles de calcul sur les puissances d'exposants entiers relatifs · utiliser les règles sur les racines carrées et écrire un nombre sous la forme a√b · mener des calculs mêlant puissances, racines et fractions, et vérifier l'ordre de grandeur du résultat.
En 4e, tu as écrit de très grands nombres avec des puissances de 10, comme 3 × 10⁸ m/s pour la vitesse de la lumière. En 3e, la racine carrée est apparue avec le théorème de Pythagore. Ce chapitre généralise ces deux outils.
2³ = 2 × 2 × 2 = 8 : l'exposant indique le nombre de facteurs.
√49 = 7, car 7 est positif et 7² = 49.
aⁿ est le produit de n facteurs égaux à a.
√a est le nombre POSITIF dont le carré vaut a (a positif).
Un nanomètre vaut un milliardième de mètre. L'écrire 0,000 000 001 m est illisible et source d'erreurs. Avec un exposant NÉGATIF, tout devient compact : 10⁻⁹ m. Reste à savoir calculer avec ces exposants.
Pour tout réel a non nul et tout entier n strictement positif : aⁿ = a × a × … × a (n facteurs), a⁻ⁿ = 1/aⁿ, et a⁰ = 1.
Le nombre n s'appelle l'EXPOSANT. En particulier, a⁻¹ = 1/a est l'inverse de a.
5³ = 125 · 3⁻² = 1/3² = 1/9 · 1997⁰ = 1 · 4⁻¹ = 0,25.
Contre-exemple : 3⁻² n'est pas égal à −9.
Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : il indique un INVERSE. Ici 3⁻² = 1/9, qui est positif.
Règles de calcul, pour a et b non nuls et n, m entiers relatifs : aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ ; aⁿ ÷ aᵐ = aⁿ⁻ᵐ ; (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ.
Et aussi : aⁿ × bⁿ = (a × b)ⁿ ; aⁿ ÷ bⁿ = (a ÷ b)ⁿ.
Méthode — écrire un produit sous la forme d'une seule puissance.
1) Je regarde si les BASES sont identiques : alors j'additionne ou je soustrais les exposants.
2) Sinon, je regarde si les EXPOSANTS sont identiques : alors je multiplie ou divise les bases.
3) Exemples : 6⁵ × 6⁻⁸ = 6⁻³ ; 3⁴ × 5⁴ = 15⁴ ; 5⁻² ÷ 5⁻⁴ = 5².
Même base : on additionne (produit) ou on soustrait (quotient) les exposants. Puissance de puissance : on multiplie.
a⁻ⁿ = 1/aⁿ et a⁰ = 1 : un exposant négatif signale un inverse, pas un nombre négatif.
Question 1 — Que vaut 5² × 5⁴ ?
Question 2 — Que vaut 3⁻² ?
Question 3 — Que vaut ((−3,7)⁻²)⁵ ?
Un carré a une aire de 50 cm² : son côté mesure √50 cm. La calculatrice affiche 7,071 067 8… mais c'est une valeur approchée. Pour garder la valeur EXACTE tout en simplifiant l'écriture, on transforme √50 en 5√2.
Pour a et b positifs : √(a × b) = √a × √b. Pour a positif et b strictement positif : √(a ÷ b) = √a ÷ √b.
Pour tout réel a : √(a²) = |a|, c'est-à-dire a si a est positif et l'opposé de a si a est négatif.
√2 × √3 = √6 · √(36/25) = 6/5 · √(3,6²) = 3,6.
√((−7)²) = √49 = 7 : c'est bien la valeur absolue de −7, et non −7.
Contre-exemple : √9 + √16 n'est pas égal à √25.
En effet √9 + √16 = 3 + 4 = 7, alors que √25 = 5. La racine carrée ne « traverse » ni l'addition ni la soustraction : la règle ne vaut que pour le produit et le quotient.
Méthode — écrire une racine sous la forme a√b.
1) Je cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine.
2) J'utilise √(a × b) = √a × √b.
3) Exemple : √32 = √(16 × 2) = √16 × √2 = 4√2. Je vérifie qu'on ne peut plus simplifier (2 n'est divisible par aucun carré parfait).
√(ab) = √a√b et √(a/b) = √a/√b (avec a ⩾ 0, b > 0), mais RIEN de tel pour une somme.
√(a²) = |a| ; forme a√b : on sort le plus grand carré parfait.
Question 1 — Quelle est l'écriture de √75 sous la forme a√b avec b le plus petit possible ?
Question 2 — Que vaut √((−9)²) ?
Question 3 — Que vaut 8√2 × 4√2 ?
En sciences, un résultat n'a de sens qu'accompagné de son ordre de grandeur et de son unité. Une distance de 1,5 × 10¹⁸ km n'est pas une erreur : c'est l'échelle des galaxies. Savoir estimer cet ordre de grandeur permet de repérer une faute de calcul.
Un nombre est écrit en NOTATION SCIENTIFIQUE lorsqu'il est de la forme a × 10ⁿ, où n est un entier relatif et où a est un décimal vérifiant 1 ⩽ a < 10.
1,5 million de kilomètres s'écrit 1,5 × 10⁶ km.
0,000 000 001 32 s'écrit 1,32 × 10⁻⁹.
Contre-exemple : 15,1 × 10¹⁷ n'est pas en notation scientifique.
Le facteur décimal doit être compris entre 1 et 10 : on corrige en écrivant 1,51 × 10¹⁸.
Méthode — calculer avec des puissances de 10.
1) Je sépare les facteurs décimaux et les puissances de 10.
2) Je calcule chaque groupe : les décimaux entre eux, les puissances de 10 en additionnant ou soustrayant les exposants.
3) Je réajuste pour revenir à la notation scientifique. Exemple : (5 × 10⁻³ × 12 × 10⁶) ÷ (15 × 10² × 8 × 10⁻⁵) = (60 ÷ 120) × 10³⁺³ = 0,5 × 10⁶ = 5 × 10⁵.
Notation scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ⩽ a < 10.
On sépare décimaux et puissances de 10, puis on vérifie l'ordre de grandeur du résultat.
Question 1 — Quelle est l'écriture scientifique de 45 235 560 015 ?
Question 2 — Combien vaut 400 nm en mètres, sachant que 1 nm = 10⁻⁹ m ?
Question 3 — Quelle est la valeur exacte du périmètre d'un rectangle de côtés √50 cm et √32 cm ?
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?