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Moyenne, médiane et étendue d'une série
Entre les valeurs séparées par des espaces ou des points-virgules : l'outil trie la série, situe la médiane par son rang et détaille la moyenne. Le cas d'un effectif pair, celui qui bloque le plus, est expliqué plus bas.
Au brevet, la série est dans un tableau
Une liste de nombres en ligne, c'est l'exercice d'entraînement. L'énoncé réel donne un tableau d'effectifs : la moyenne devient pondérée, la médiane se lit sur les effectifs cumulés, et il faut justifier. C'est ce que le coach Mathoo fait travailler, exercice après exercice.
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Trois indicateurs qui ne disent pas la même chose
La moyenne répartit équitablement : elle répond à « si tout le monde avait la même chose, combien chacun ? ». La médiane partage l'effectif en deux moitiés : autant de valeurs en dessous qu'au-dessus. L'étendue mesure la dispersion, l'écart entre le plus grand et le plus petit.
D'où la règle à retenir : la moyenne tient compte de toutes les valeurs, la médiane seulement de leur ordre. Une seule valeur extrême déplace donc la première sans toucher la seconde — raison pour laquelle un énoncé demande souvent les deux, puis de commenter.
Calculer la médiane, cas impair et cas pair
Une étape avant tout : ranger la série dans l'ordre croissant. Chercher la médiane sur une série non triée est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle passe inaperçue.
Effectif impair : une valeur au milieu
Le rang de la médiane vaut (n + 1) ÷ 2. Pour 7 valeurs : (7 + 1) ÷ 2 = 4, donc la médiane est la 4e de la série triée. Trois valeurs avant, trois après.
Effectif pair : deux valeurs se partagent le milieu
Aucune valeur n'occupe le centre : on prend les deux du milieu, aux rangs n ÷ 2 et n ÷ 2 + 1, et l'on calcule leur moyenne. Pour 4 valeurs, ce sont la 2e et la 3e. Avec la série 7 ; 9 ; 12 ; 15, la médiane vaut (9 + 12) ÷ 2 = 10,5.
Conséquence qui surprend toujours : la médiane peut ne pas appartenir à la série. Ici 10,5 n'y figure pas, et le résultat est pourtant juste.
Deux exemples entièrement résolus
Triées : 7 ; 8 ; 9 ; 12 ; 12 ; 15 ; 20. L'effectif 7 est impair, le rang de la médiane est (7 + 1) ÷ 2 = 4 : la médiane est la 4e valeur, soit 12.
Moyenne : la somme vaut 83, donc 83 ÷ 7 ≈ 11,86. Étendue : 20 − 7 = 13. Moyenne et médiane sont proches : aucune note n'écrase les autres.
Triés : 19 ; 22 ; 24 ; 25 ; 26 ; 31. L'effectif 6 est pair : on prend la 3e et la 4e valeur, 24 et 25, d'où une médiane de (24 + 25) ÷ 2 = 24,5 minutes.
Moyenne : 147 ÷ 6 = 24,5 également. Étendue : 31 − 19 = 12 minutes. Moyenne et médiane égales signalent une série bien équilibrée.
Neuf salaires de 1 500 € et un de 20 000 €. La moyenne vaut 33 500 ÷ 10 = 3 350 €, un montant que personne ne touche. La médiane, elle, est la moyenne des 5e et 6e valeurs, toutes deux à 1 500 € : elle vaut 1 500 € et décrit bien mieux la situation réelle.
Les erreurs les plus fréquentes
Oublier de trier. La médiane n'a aucun sens sur une série en désordre. Le tri est la première ligne de la copie.
Confondre le rang et la valeur. (n + 1) ÷ 2 donne la position de la médiane, pas la médiane elle-même. Pour 7 valeurs, le rang 4 désigne la 4e valeur — répondre « 4 » est un contresens.
Prendre la valeur du milieu quand l'effectif est pair. Il n'y en a pas : il faut faire la moyenne des deux valeurs centrales.
Oublier les valeurs répétées. Une note qui apparaît trois fois compte trois fois, dans le tri comme dans la somme.
Donner l'étendue sous forme d'intervalle. C'est un seul nombre, l'écart maximal — « 13 », et non « de 7 à 20 ».
Arrondir trop tôt. On calcule la somme exacte, on divise, et l'on arrondit à la fin seulement.
Questions fréquentes
Quelle est la formule du rang de la médiane ?
Pour un effectif impair, (n + 1) ÷ 2 donne le rang de la valeur centrale. Pour un effectif pair, on prend les rangs n ÷ 2 et n ÷ 2 + 1, puis la moyenne de ces deux valeurs.
La médiane peut-elle être un nombre absent de la série ?
Oui, chaque fois que l'effectif est pair : elle est alors la moyenne des deux valeurs centrales. Avec 9 et 12 au milieu, la médiane vaut 10,5, qui ne figure nulle part dans la série.
Pourquoi moyenne et médiane diffèrent-elles autant parfois ?
Parce qu'une valeur extrême déplace la moyenne sans toucher la médiane. Un seul salaire très élevé, une seule note très basse suffisent. C'est l'écart entre les deux qui révèle ce déséquilibre.
Comment calculer une moyenne avec un tableau d'effectifs ?
C'est une moyenne pondérée : on multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne le tout, puis on divise par l'effectif total — et non par le nombre de lignes du tableau.
À quoi sert l'étendue ?
À mesurer la dispersion d'un coup d'œil : deux séries de même moyenne peuvent être très différentes selon qu'elles sont resserrées ou étalées. Elle reste fragile, puisqu'une seule valeur extrême suffit à la faire bondir.
En quelle classe apprend-on la médiane ?
La moyenne dès la sixième, la médiane et l'étendue en quatrième, avec un approfondissement en troisième sur les tableaux d'effectifs. En seconde s'ajoutent les quartiles et l'écart type.
Le cours qui va avec
Pour la méthode complète et les exercices corrigés :