Niveau 2ⁿᵈᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : déterminer un ensemble de définition, une image et un antécédent par le calcul · exploiter l'équation y = f(x) d'une courbe · résoudre graphiquement une équation ou une inéquation · modéliser une situation par une fonction.
En 3e, tu as rencontré les fonctions : une machine qui, à un nombre, associe un autre nombre. Tu connais la notation f(x), les mots « image » et « antécédent », et tu sais lire un graphique. En seconde, on précise ce vocabulaire et on s'en sert pour résoudre des problèmes.
Si f(2) = 5, alors 5 est l'image de 2, et 2 est un antécédent de 5.
Un nombre a UNE SEULE image, mais il peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun.
Une fonction associe à chaque nombre de départ un unique nombre d'arrivée.
Image : le résultat. Antécédent : le nombre de départ.
La fonction qui à x associe 1/(x − 3) fonctionne parfaitement… sauf pour x = 3, où la division devient impossible. Une fonction ne vit donc pas forcément sur tout ℝ : il faut préciser son terrain de jeu.
L'ENSEMBLE DE DÉFINITION d'une fonction f est l'ensemble des réels x pour lesquels f(x) peut être calculé.
L'IMAGE de a par f est le nombre f(a). Un ANTÉCÉDENT de b par f est un réel x tel que f(x) = b.
Pour f(x) = 5x + 2, l'ensemble de définition est ℝ : tout réel a une image.
Pour g(x) = 1/(x − 3), il faut x − 3 ≠ 0 : l'ensemble de définition est ℝ privé de 3.
Contre-exemple : dire que « 3 n'a pas d'image par g » ne suffit pas à décrire l'ensemble de définition.
Il faut préciser TOUTES les valeurs exclues, en résolvant l'équation « dénominateur = 0 ». Ici une seule valeur est exclue, mais pour h(x) = 1/(x² − 4) il y en aurait deux.
Méthode — calculer une image, chercher un antécédent.
1) Image de a : je remplace x par a dans l'expression. Pour f(x) = 3x² − 7, f(−2) = 3 × 4 − 7 = 5.
2) Antécédent de b : je résous l'équation f(x) = b. Pour f(x) = −3x − 4, l'antécédent de 10 vérifie −3x − 4 = 10, donc x = −14/3.
3) Si l'équation est un produit nul, il peut y avoir plusieurs antécédents.
Ensemble de définition = valeurs de x pour lesquelles f(x) existe (dénominateur non nul).
Image → on remplace. Antécédent → on résout une équation.
Question 1 — Soit f(x) = 3x² − 7. Que vaut f(−2) ?
Question 2 — Quel est l'ensemble de définition de g(x) = 1/(x − 3) ?
Question 3 — Chercher un antécédent de 10 par f, c'est :
Un graphique vaut mille tableaux de valeurs : d'un coup d'œil, on voit où la fonction monte, descend, s'annule. Encore faut-il savoir exactement ce que représente cette courbe.
La COURBE REPRÉSENTATIVE d'une fonction f est l'ensemble des points du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient y = f(x).
On dit que y = f(x) est une ÉQUATION de cette courbe : un point appartient à la courbe si et seulement si ses coordonnées vérifient cette équation.
Courbe d'une fonction f définie sur l'intervalle [−3 ; 4].
Sur la courbe ci-dessus : f(−1) = −2, f(0) = −1, f(2) = 3 et f(4) = 1.
Les antécédents de 0 sont −2 et 1 : ce sont les abscisses des points situés SUR l'axe des abscisses.
Contre-exemple : le point A(3 ; 10) n'appartient pas à la courbe d'équation y = x² + 3.
En effet 3² + 3 = 12, et non 10. Pour appartenir à la courbe, il faut que l'égalité soit EXACTE.
Méthode — tester l'appartenance d'un point.
1) Je remplace x par l'abscisse du point dans l'équation.
2) Je compare le résultat à l'ordonnée du point.
3) S'ils sont égaux, le point est sur la courbe. Pour B(−2 ; 5) et y = 2x + 9 : 2 × (−2) + 9 = 5, donc B appartient à la courbe.
y = f(x) est l'équation de la courbe : un point y appartient si ses coordonnées la vérifient.
Image : de l'axe des x vers la courbe puis vers l'axe des y. Antécédent : le chemin inverse.
Question 1 — Le point A(1 ; 4) appartient-il à la courbe d'équation y = x² + 3 ?
Question 2 — Sur la courbe du cours, quels sont les antécédents de 0 ?
Question 3 — Quelle est l'ordonnée du point de la courbe d'équation y = x² − 3 d'abscisse −4 ?
Certaines équations sont impossibles à résoudre par le calcul en seconde. Mais si l'on dispose de la courbe, la réponse se lit directement : c'est tout l'intérêt du registre graphique.
Résoudre graphiquement f(x) = k, c'est lire les ABSCISSES des points de la courbe situés à la hauteur y = k.
Résoudre f(x) < k, c'est lire les abscisses des points situés STRICTEMENT EN DESSOUS de la droite horizontale d'équation y = k.
Résoudre f(x) = g(x), c'est lire les abscisses des points d'INTERSECTION des deux courbes ; f(x) < g(x) correspond aux abscisses où Cf est en dessous de Cg.
Courbes de f(x) = 2x − 1 (en rouge) et g(x) = −x + 5 (en bleu).
Sur le graphique ci-dessus, les deux droites se coupent au point de coordonnées (2 ; 3).
La solution de f(x) = g(x) est donc x = 2. Et f(x) < g(x) pour x < 2 : sur cette partie, la droite rouge est sous la bleue.
Contre-exemple : la solution de f(x) = g(x) n'est pas 3.
Le nombre 3 est l'ORDONNÉE du point d'intersection ; la solution d'une équation en x est son ABSCISSE, ici 2.
Méthode — vérifier une lecture graphique par le calcul.
1) Je lis la solution approchée sur le graphique.
2) Je pose l'équation : 2x − 1 = −x + 5.
3) Je résous : 3x = 6, donc x = 2. Le calcul confirme la lecture.
f(x) = k → abscisses des points à la hauteur k. f(x) < k → abscisses des points sous la droite y = k.
f(x) = g(x) → abscisses des points d'intersection des deux courbes.
Question 1 — Résoudre graphiquement f(x) = 3, c'est chercher :
Question 2 — Sur le graphique du cours, quelle est la solution de f(x) = g(x) ?
Question 3 — Toujours sur ce graphique, pour quelles valeurs a-t-on f(x) < g(x) ?
Un rectangle de périmètre 30 cm peut être très allongé ou presque carré : son aire change avec sa largeur. En notant x cette largeur, l'aire devient une FONCTION de x, qu'on peut étudier pour trouver la forme la plus avantageuse.
MODÉLISER une situation par une fonction, c'est choisir une grandeur variable (notée x), puis exprimer la grandeur étudiée en fonction de x.
On précise toujours l'intervalle des valeurs possibles pour x, imposé par le contexte.
Méthode — modéliser une situation.
1) Je choisis l'inconnue et je précise ce qu'elle représente, avec son unité.
2) J'exprime la grandeur cherchée en fonction de x, en m'appuyant sur une formule connue.
3) Je détermine l'intervalle des valeurs possibles. Pour le rectangle de périmètre 30 : la largeur x et la longueur 15 − x doivent être positives, donc x ∈ ]0 ; 15[, et A(x) = x(15 − x).
Un mobile roule à 5 m/s : la distance parcourue après x secondes vaut d(x) = 5x.
Un artisan a un coût C(x) = 2x + 50 euros et une recette R(x) = 7x euros : son bénéfice est B(x) = R(x) − C(x) = 5x − 50.
Contre-exemple : pour le rectangle, l'intervalle n'est pas [0 ; 15].
Si x vaut 0 ou 15, le rectangle est aplati : il n'existe plus. L'intervalle correct est ouvert : ]0 ; 15[.
Modéliser = nommer la variable, exprimer la grandeur en fonction d'elle, préciser l'intervalle des valeurs possibles.
Bénéfice = recette − coût ; aire d'un rectangle = largeur × longueur ; distance = vitesse × durée.
Question 1 — Un rectangle a un périmètre de 30 cm et une largeur x. Quelle est sa longueur ?
Question 2 — Avec C(x) = 2x + 50 et R(x) = 7x, quel est le bénéfice B(x) ?
Question 3 — Pour le rectangle de périmètre 30 cm, à quel intervalle appartient la largeur x ?
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?