Niveau 2ⁿᵈᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : comparer deux quantités par leur différence ou leur rapport · encadrer une expression à partir d'un encadrement · résoudre une inéquation du premier degré et donner les solutions sous forme d'intervalle · modéliser un problème par une inéquation.
Tu sais depuis longtemps comparer deux nombres et lire les symboles <, >, ⩽ et ⩾. Tu sais aussi résoudre une équation. Une inéquation se résout presque de la même façon… avec une règle supplémentaire, qui est la source d'erreur numéro un de ce chapitre.
Le symbole ⩽ se lit « inférieur ou égal à » : l'inégalité 3 ⩽ 3 est vraie.
L'intervalle [2 ; 5] a été vu au chapitre 1 : c'est l'ensemble des réels x tels que 2 ⩽ x ⩽ 5.
< et > sont des inégalités STRICTES ; ⩽ et ⩾ sont LARGES (la valeur peut être atteinte).
Un ensemble de solutions s'écrit avec un intervalle : crochet fermé pour une inégalité large.
Deux forfaits téléphoniques coûtent A = 45 + 5x et B = 1 000 − 5x euros selon la consommation x. Lequel est le moins cher ? Impossible de répondre d'un coup d'œil : cela dépend de x. La méthode générale consiste à étudier le SIGNE de la différence A − B.
Comparer deux nombres A et B, c'est étudier le signe de leur différence : si A − B > 0 alors A > B ; si A − B < 0 alors A < B ; si A − B = 0 alors A = B.
Pour deux nombres STRICTEMENT POSITIFS, on peut aussi comparer leur quotient à 1 : si A/B > 1 alors A > B.
Méthode — comparer deux expressions.
1) Je calcule la différence A − B et je la réduis.
2) J'étudie son signe : parfois il est constant, parfois il dépend de x.
3) Avec A = −2t + 9 et B = −2t + 3 : A − B = 6 > 0, donc A > B quelle que soit la valeur de t.
Contre-exemple : comparer 5 + 2x et x + 9 sans étudier le signe mène à une erreur.
La différence vaut (5 + 2x) − (x + 9) = x − 4 : elle est positive seulement si x > 4. La réponse DÉPEND donc de x, il n'y a pas de comparaison unique.
A > B ⇔ A − B > 0 : la comparaison passe par le SIGNE de la différence.
Pour deux nombres strictement positifs, on peut comparer le rapport A/B à 1.
Question 1 — Si A − B est strictement négatif, que peut-on dire ?
Question 2 — On pose A = −2t + 9 et B = −2t + 3. Que vaut A − B ?
Question 3 — Si A > B > 0, que peut-on dire du quotient A/B ?
Une pièce mesure entre 2,4 et 2,5 cm de large, et entre 5,54 et 5,56 cm de long. Entre quelles valeurs se situe son périmètre ? Pour répondre, il faut savoir comment une inégalité se comporte quand on l'additionne ou qu'on la multiplie.
Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une inégalité ne change PAS son sens.
Multiplier ou diviser les deux membres par un nombre strictement POSITIF ne change pas le sens ; par un nombre strictement NÉGATIF, cela CHANGE le sens de l'inégalité.
On peut aussi additionner deux inégalités de même sens membre à membre : si a < b et c < d, alors a + c < b + d.
Si 2 ⩽ x ⩽ 4, alors 2 − 10 ⩽ x − 10 ⩽ 4 − 10, soit −8 ⩽ x − 10 ⩽ −6.
Toujours si 2 ⩽ x ⩽ 4 : en multipliant par 1,5 (positif), on obtient 3 ⩽ 1,5x ⩽ 6.
Contre-exemple : si 2 ⩽ x ⩽ 4, alors −4x n'est PAS compris entre −8 et −16.
En multipliant par −4, le sens change : de 2 ⩽ x ⩽ 4 on tire −16 ⩽ −4x ⩽ −8. Les bornes s'échangent.
Méthode — encadrer une expression étape par étape.
1) Je pars de l'encadrement donné.
2) J'applique les opérations UNE PAR UNE, en surveillant le signe du multiplicateur.
3) Avec −3 ⩽ a ⩽ 1,5 : je multiplie par 2 (−6 ⩽ 2a ⩽ 3), puis je soustrais 8 (−14 ⩽ 2a − 8 ⩽ −5).
Ajouter ou soustraire : le sens ne change pas. Multiplier par un positif : idem. Par un NÉGATIF : le sens change.
On peut additionner deux encadrements membre à membre, mais pas les soustraire directement.
Question 1 — Si x ⩽ 1 000, que peut-on déduire pour −x/10 ?
Question 2 — Si 2 ⩽ x ⩽ 4, quel est l'encadrement de 1,5x ?
Question 3 — Si 1,41 < √2 < 1,42, quel est l'encadrement de 5 − 2√2 ?
Une inéquation ressemble à une équation, mais avec un symbole d'inégalité : 2x + 3 < 4 − 5x. Elle n'a pas une solution mais une INFINITÉ, qu'on décrit par un intervalle.
Une INÉQUATION est une inégalité contenant une inconnue. La résoudre, c'est déterminer toutes les valeurs de l'inconnue qui la vérifient : c'est l'ENSEMBLE DES SOLUTIONS.
On le note sous forme d'intervalle, par exemple S = ]−∞ ; 4] ou S = [3 ; +∞[.
Méthode — résoudre une inéquation du premier degré.
1) Je développe et je regroupe les x d'un côté, les nombres de l'autre.
2) Je divise par le coefficient de x, EN CHANGEANT le sens si ce coefficient est négatif.
3) Je traduis en intervalle. Exemple : 2(x − 4) ⩽ 4x − 5 donne −2x ⩽ 3, donc x ⩾ −3/2 et S = [−3/2 ; +∞[.
Contre-exemple : de −2x ⩽ 3, on ne déduit pas x ⩽ −1,5.
En divisant par −2, le sens change : la bonne conclusion est x ⩾ −1,5. On peut vérifier avec x = 0 : −2 × 0 = 0 ⩽ 3, l'inégalité est vraie, et 0 appartient bien à [−1,5 ; +∞[.
Comme pour les équations, il existe des cas particuliers.
4x + 2 > 4(x + 5) + 1 se réduit à 2 > 21, ce qui est faux : S = ∅.
−3x + 7 ⩾ 5 − 3x se réduit à 7 ⩾ 5, toujours vrai : S = ℝ.
Une inéquation se résout comme une équation, SAUF qu'on change le sens en divisant par un négatif.
L'ensemble des solutions s'écrit sous forme d'intervalle ; il peut être vide ou égal à ℝ.
Question 1 — Quelle est la solution de −2x ⩽ 24 ?
Question 2 — Quel est l'ensemble des solutions de 2x + 2 ⩽ 10 ?
Question 3 — Quel est l'ensemble des solutions de 4x + 2 > 4(x + 5) + 1 ?
« À partir de combien de trajets l'abonnement devient-il plus avantageux ? » « Combien de kilos faut-il vendre pour un bénéfice d'au moins 25 € ? » Ces questions du quotidien se traduisent toutes par une inéquation.
MODÉLISER un problème par une inéquation, c'est nommer l'inconnue, exprimer chaque quantité en fonction de cette inconnue, puis traduire la condition de l'énoncé par une inégalité.
Méthode — de l'énoncé à la conclusion.
1) Je nomme l'inconnue et je précise ce qu'elle représente, avec son unité.
2) J'exprime les quantités en jeu, puis j'écris l'inéquation.
3) Je résous, puis je REVIENS au contexte pour formuler la réponse (souvent un nombre entier).
Un sachet de graines coûte 2,90 € et les carottes se revendent 1,50 €/kg. Pour un bénéfice d'au moins 25 €, on résout 1,5x − 2,9 ⩾ 25.
On obtient x ⩾ 18,6 : comme on vend un nombre entier de kilogrammes, il faut en vendre au moins 19.
Contre-exemple : conclure « x ⩾ 18,6 donc 18 kilos » est faux.
18 est inférieur à 18,6 : il ne vérifie pas l'inéquation. Quand la réponse doit être entière et que l'inéquation est du type x ⩾ …, on prend l'entier immédiatement SUPÉRIEUR.
Nommer l'inconnue → écrire l'inéquation → résoudre → revenir au contexte.
« au moins » → ⩾ · « au plus » → ⩽ · réponse entière : choisir l'entier qui vérifie réellement l'inéquation.
Question 1 — Comment traduire « le bénéfice est d'au moins 25 euros » ?
Question 2 — Un abonnement coûte 10 € par mois. Quel est son coût annuel ?
Question 3 — La résolution donne x ⩾ 18,6 et x est un nombre entier de kilos. Que conclure ?
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?