Puissances et racines carrées : 12 exercices corrigés de 2nde

Parmi ces nombres, lesquels sont positifs ?

Méthode : Méthode du cours : une puissance d'un nombre positif est toujours positive. Une puissance d'un nombre négatif est positive si l'exposant est pair, négative s'il est impair. Attention : dans −6⁵, le signe moins n'est pas dans la puissance.

Écris chaque nombre sous la forme aⁿ, où a est un nombre relatif et n un entier relatif.
a. 5² × 5⁴
b. 6⁵ × 6⁻⁸
c. 3⁴ × 5⁴
d. 8⁰ × 8³

Méthode : Méthode du cours : pour un produit de puissances de même base, on ADDITIONNE les exposants (aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ). Pour un produit de puissances de même exposant, on multiplie les bases (aⁿ × bⁿ = (a × b)ⁿ). Enfin, a⁰ = 1.

Écris chaque nombre sous la forme d'une seule puissance.
a. 5⁻² ÷ 5⁻⁴
b. ((−3,7)⁻²)⁵
c. 3⁸ ÷ 3⁻⁴
d. 10⁷ × 10⁻⁷

Méthode : Méthode du cours : pour un quotient de puissances de même base, on SOUSTRAIT les exposants (aⁿ ÷ aᵐ = aⁿ⁻ᵐ). Pour une puissance de puissance, on MULTIPLIE les exposants ((aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ). Attention aux signes : −2 − (−4) = 2.

Simplifie chaque expression, où x et y sont des nombres non nuls. Donne le résultat sans exposant négatif.
a. x⁵y⁸ ÷ (x⁵y³)
b. (x⁻²)⁻⁹
c. 1 ÷ x⁻⁷
d. y⁵ ÷ (x³y)

Méthode : Méthode du cours : applique les mêmes règles qu'avec des nombres, base par base. Rappelle-toi que 1/a⁻ⁿ = aⁿ et que x⁵ ÷ x⁵ vaut x⁰ = 1.

Le télescope spatial James-Webb se trouve à 1,5 million de kilomètres de la Terre. Grâce à lui, on a pu observer la nébuleuse de la Tarentule, située à 160 000 années-lumière de la Terre. Une année-lumière vaut environ 9 461 milliards de kilomètres.
a. Écris 1,5 million de kilomètres en notation scientifique.
b. Écris 9 461 milliards de kilomètres en notation scientifique.
c. À combien de kilomètres de la Terre se situe la nébuleuse de la Tarentule ? Donne le résultat en notation scientifique, arrondi à 10⁻² près pour le facteur décimal.

Méthode : Méthode du cours : la notation scientifique s'écrit a × 10ⁿ avec 1 ⩽ a < 10. Pour la question c., multiplie 1,6 × 10⁵ par 9,461 × 10¹² : multiplie les facteurs décimaux entre eux et ajoute les exposants de 10, puis réajuste pour revenir à la notation scientifique.

On considère les nombres suivants (d'après le Brevet).
a. Donne B = (35 × 10⁻³ × 3 × 10⁵) ÷ (21 × 10⁻¹) sous la forme a × 10ⁿ, où a est un entier et n un entier relatif.
b. Donne C = (5 × 10⁻³ × 12 × 10⁶) ÷ (15 × 10² × 8 × 10⁻⁵) en écriture scientifique.

Méthode : Méthode du cours : sépare les nombres décimaux des puissances de 10. Calcule d'abord (35 × 3) ÷ 21, puis regroupe les puissances de 10 en additionnant et soustrayant les exposants.

Ces affirmations sont-elles vraies ou fausses ?

Méthode : Méthode du cours : √a est le nombre POSITIF dont le carré vaut a. Ne confonds pas « carré de » et « racine carrée de », et souviens-toi qu'un nombre négatif n'a pas de racine carrée.

Écris chaque nombre sous la forme a√b, où a et b sont des entiers positifs et b le plus petit possible.
a. √32
b. √75
c. √99
d. √48

Méthode : Méthode du cours : fais apparaître le plus grand carré parfait qui divise le nombre, puis utilise √(a × b) = √a × √b. Par exemple √32 = √(16 × 2) = √16 × √2 = 4√2.

On veut calculer S = √27 − √12 + √300.
a. Écris √27 sous la forme a√3.
b. Écris √300 sous la forme a√3.
c. Déduis-en la valeur de S sous la forme a√3.

Méthode : Méthode du cours : on ne peut additionner que des racines carrées identiques. Écris chaque terme sous la forme a√3, puis regroupe comme tu le ferais avec des « x » : 3√3 − 2√3 + 10√3.

Calcule chaque produit.
a. 8√2 × 4√2
b. 2√2 × 5√2
c. −7√3 × 2√3
d. 3√5 × 9√3

Méthode : Méthode du cours : multiplie les nombres entre eux et les racines entre elles, puis simplifie avec √a × √a = a. Par exemple 8√2 × 4√2 = 32 × (√2 × √2) = 32 × 2.

Calcule chaque carré.
a. (√12)²
b. (4√2)²
c. (−3√5)²
d. (−5√13)²

Méthode : Méthode du cours : (√a)² = a. Pour (4√2)², élève au carré chaque facteur : 4² × (√2)² = 16 × 2. Attention au signe : un carré est toujours positif.

Un rectangle a pour longueur √50 cm et pour largeur √32 cm.
a. Donne la valeur exacte de son périmètre sous la forme a√2, en centimètres.
b. Donne la valeur exacte de son aire, en centimètres carrés.

Méthode : Méthode du cours : commence par écrire √50 et √32 sous la forme a√2. Le périmètre vaut 2 × (longueur + largeur) et l'aire vaut longueur × largeur : pour l'aire, utilise √50 × √32 = √1600.