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Simplifier une racine carrée
Entre le nombre placé sous la racine : l'outil en sort tout ce qui peut l'être et donne la valeur exacte, avec les deux méthodes du programme. Pourquoi on ne rend jamais 8,49 est expliqué plus bas.
Simplifier n'est que la première étape
Ensuite viennent les additions — impossibles tant que les racines diffèrent —, les produits, et les dénominateurs à rendre rationnels. Chacune de ces opérations commence par une simplification. Le coach Mathoo enchaîne ces exercices en reprenant l'étape qui bloque.
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Ce que simplifier une racine veut dire
La racine carrée d'un nombre positif est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre : √49 = 7, parce que 7 × 7 = 49. Quand le nombre n'est pas un carré parfait, la racine ne tombe pas juste — et l'on ne cherche pas à la calculer, mais à l'écrire plus simplement.
Simplifier, c'est sortir de la racine tout ce qui peut en sortir. √72 devient 6√2 : les deux écritures désignent le même nombre, mais la seconde est plus courte et se manipule beaucoup mieux dans les calculs qui suivent.
Tout repose sur une propriété unique : la racine d'un produit est le produit des racines. Autrement dit √(a × b) = √a × √b. Il suffit donc de faire apparaître un carré dans le produit pour l'extraire.
Les deux méthodes
Repérer le plus grand carré parfait
On cherche un carré — 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 — qui divise le nombre, en prenant le plus grand possible. Pour 72 : 36 convient, et 72 = 36 × 2. On écrit alors √72 = √36 × √2 = 6√2.
Rapide dès qu'on connaît ses carrés par cœur. Le risque est de prendre un carré trop petit : avec 4 au lieu de 36, on obtient 2√18, qui n'est pas terminé puisque 18 contient encore un 9.
Décomposer en facteurs premiers
Cette méthode-là ne dépend d'aucune reconnaissance : elle marche toujours. On décompose le nombre, puis chaque paire de facteurs identiques sort de la racine en un seul exemplaire, tandis que les facteurs isolés y restent.
Pour 72 = 2³ × 3² : la paire de 3 sort et donne 3 ; parmi les trois 2, une paire sort et donne 2, le troisième reste dessous. D'où 2 × 3 = 6 devant, et 2 sous la racine : 6√2. C'est la méthode à employer quand le nombre est grand ou qu'aucun carré ne saute aux yeux.
Trois exemples entièrement résolus
50 = 25 × 2, et 25 est un carré parfait. Donc √50 = √25 × √2 = 5√2. Par les facteurs premiers : 50 = 2 × 5², la paire de 5 sort, le 2 reste.
Décomposons : 180 = 2² × 3² × 5. Deux paires sortent, celle des 2 et celle des 3, donnant 2 × 3 = 6 devant ; le 5 reste seul. D'où √180 = 6√5. Le carré parfait était 36, ce qu'on ne devinait pas facilement.
7 est premier : aucun carré ne le divise, aucun facteur ne se répète. √7 est déjà sous sa forme la plus simple, et c'est une réponse complète. Écrire 2,65 à la place serait une valeur approchée, donc inexacte.
Pourquoi ne pas donner le résultat décimal
La calculatrice affiche √72 ≈ 8,485281374. Ce nombre n'est pas égal à √72 : il en est une valeur approchée, tronquée à l'écran. La racine d'un entier qui n'est pas un carré parfait a des décimales infinies et sans motif répété — c'est un nombre irrationnel.
Rendre 6√2 est donc plus exact que rendre 8,49, et non pas plus compliqué. C'est la raison pour laquelle les énoncés demandent « la valeur exacte » : ils attendent la forme avec la racine.
La forme simplifiée a un second avantage, décisif pour la suite : elle permet de calculer. 3√2 + 5√2 se regroupe en 8√2, comme on regrouperait 3x + 5x. Mais 3√2 + √50 semble impossible tant qu'on n'a pas vu que √50 vaut 5√2 — et le total est alors 8√2.
Les erreurs les plus fréquentes
Sortir un nombre isolé. Seules les paires franchissent la racine. Dans √12 = √(2² × 3), le 3 reste dessous.
Ne pas aller au bout. √72 = 2√18 est juste mais inachevé : 18 contient encore 9. Après chaque extraction, se redemander s'il reste un carré.
Croire que la racine d'une somme se sépare. √(9 + 16) vaut √25 = 5, et non 3 + 4 = 7. La propriété ne vaut que pour les produits.
Additionner des racines différentes. √2 + √3 ne fait pas √5. On ne regroupe que des racines identiques.
Oublier le facteur déjà sorti. Dans √72 = √36 × √2, il reste à remplacer √36 par 6 : sans cela, rien n'est simplifié.
Questions fréquentes
Quels sont les carrés parfaits à connaître ?
Ceux jusqu'à 15 au moins : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225. Les reconnaître instantanément rend la première méthode immédiate.
Comment savoir qu'une racine ne se simplifie plus ?
Quand le nombre sous la racine n'est divisible par aucun carré, c'est-à-dire quand aucun facteur premier n'y apparaît deux fois. Un nombre premier comme 7 est toujours dans ce cas.
Peut-on simplifier la racine d'un nombre décimal ?
On l'écrit d'abord en fraction : √0,25 revient à √(1/4), soit 1/2. La racine d'un quotient est le quotient des racines, ce qui ramène au cas entier.
Pourquoi la racine d'un nombre négatif n'existe-t-elle pas ?
Parce qu'un carré est toujours positif ou nul : aucun nombre multiplié par lui-même ne donne un résultat négatif. Ces racines n'apparaissent que dans les nombres complexes, après le lycée.
À quoi sert la forme simplifiée dans les calculs ?
À regrouper et à comparer. 3√2 + 5√2 = 8√2 devient possible dès que les racines sont identiques, et deux expressions simplifiées se comparent d'un coup d'œil.
En quelle classe apprend-on à simplifier les racines ?
Les racines carrées apparaissent en quatrième avec Pythagore, et la simplification est au programme de troisième. Elle est reprise en seconde, où l'on y ajoute les dénominateurs à rationaliser.
Le cours qui va avec
Pour la méthode complète et les exercices corrigés :