Accueil › Outils de calcul › Développer et factoriser
Développer et factoriser une expression
Écris ton expression, avec des parenthèses ou non : l'outil rend la forme développée et la forme factorisée, et nomme l'identité remarquable employée. Les trois identités sont rappelées plus bas.
Savoir laquelle des deux formes l'énoncé attend
Développer et factoriser ne servent pas à la même chose : la première forme sert à calculer une valeur, la seconde à résoudre une équation produit nul. Reconnaître ce que l'exercice réclame vaut autant de points que le calcul lui-même — et c'est ce que le coach Mathoo fait travailler.
M'entraîner sur le calcul littéral →Gratuit, sans carte bancaire.
Deux opérations inverses l'une de l'autre
Développer, c'est transformer un produit en somme : supprimer les parenthèses, puis regrouper les termes semblables. Factoriser, c'est le chemin inverse — transformer une somme en produit, en faisant apparaître des parenthèses.
Les deux écritures désignent la même expression. (x + 3)² et x² + 6x + 9 donnent le même résultat pour n'importe quelle valeur de x ; seule leur forme diffère, et c'est l'usage qui décide de la bonne.
La forme développée sert à calculer une valeur ou à comparer deux expressions. La forme factorisée sert à résoudre : une équation produit nul ne se traite que sur un produit, puisqu'un produit est nul seulement si l'un de ses facteurs l'est. Un énoncé qui demande de factoriser prépare presque toujours une résolution.
Développer : la distributivité
Tout repose sur la distributivité. Simple d'abord : k(a + b) donne ka + kb — le facteur devant la parenthèse multiplie chaque terme à l'intérieur, sans exception.
Double ensuite, pour un produit de deux parenthèses : (a + b)(c + d) donne ac + ad + bc + bd. Chacun des deux premiers termes multiplie chacun des deux suivants, ce qui fait quatre produits — un développement qui n'en compte que trois a oublié un terme.
Le piège du signe moins
Devant une parenthèse, un signe moins change tous les signes qu'elle contient : 5 − (x − 2) vaut 5 − x + 2, soit 7 − x. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, parce qu'elle ne se voit pas dans le résultat.
Après distribution, on réduit : on additionne les termes en x² entre eux, ceux en x entre eux, et les nombres entre eux. Un terme en x et un nombre ne se regroupent jamais.
Les trois identités remarquables
Ce sont trois développements si fréquents qu'on les reconnaît au lieu de les refaire. Les connaître dans les deux sens est ce qui permet de factoriser vite.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
Comment les repérer dans l'autre sens
Pour factoriser, on cherche la signature. Deux carrés séparés par un moins, sans terme du milieu : c'est la troisième identité, et x² − 9 devient (x − 3)(x + 3). Deux carrés avec un terme du milieu : on vérifie qu'il vaut exactement 2ab, et x² + 6x + 9 devient (x + 3)², puisque 6x est bien 2 × x × 3.
Attention à ce qui n'existe pas : une somme de deux carrés ne se factorise pas. x² + 9 reste tel quel, et c'est une réponse complète.
Trois exemples entièrement résolus
Par la double distributivité : x² − 3x + 3x − 9. Les deux termes du milieu s'annulent, d'où x² − 9. C'est l'identité de la différence de deux carrés, qui explique pourquoi le terme central disparaît.
Les termes extrêmes sont des carrés : x² et 9 = 3². Le terme du milieu vaut-il 2 × x × 3 = 6x ? Oui. Donc l'expression est (x + 3)². Si le milieu avait valu 5x, aucune identité ne se serait appliquée.
On développe d'abord : 2x + 2 + 3x − 12, soit 5x − 10. Puis on repère le facteur commun 5, d'où 5(x − 2). Beaucoup d'exercices demandent ainsi de développer avant de pouvoir factoriser.
Les erreurs les plus fréquentes
Oublier le double produit. (x + 3)² ne vaut pas x² + 9 : il manque 6x. L'erreur la plus coûteuse du chapitre, et la plus tenace.
Ne pas changer tous les signes après un moins. −(x − 2) donne −x + 2, jamais −x − 2.
Oublier un des quatre produits. Une double distributivité en donne toujours quatre avant réduction.
Regrouper des termes de natures différentes. 3x² et 5x ne s'additionnent pas, pas plus que 3x et 5.
Chercher à factoriser une somme de carrés. x² + 4 ne se factorise pas ; s'acharner fait perdre du temps.
Ne pas mettre x en évidence. Dans x² + 5x, les deux termes contiennent un x : la factorisation x(x + 5) est immédiate, et pourtant souvent manquée.
Questions fréquentes
Comment savoir s'il faut développer ou factoriser ?
L'énoncé le demande explicitement la plupart du temps. Sinon, le but décide : pour calculer une valeur, on développe ; pour résoudre une équation produit nul, il faut la forme factorisée.
Comment reconnaître une identité remarquable ?
On vérifie que les termes extrêmes sont des carrés. S'il y a un terme du milieu, il doit valoir exactement 2ab ; sinon, un signe moins entre deux carrés annonce la troisième identité.
Peut-on factoriser x² + 9 ?
Non. Il n'existe pas d'identité pour une somme de deux carrés — seulement pour leur différence. L'expression reste telle quelle, et le signaler est une réponse complète.
Que signifie « mettre x en évidence » ?
C'est factoriser par x lorsque tous les termes en contiennent un : x² + 5x devient x(x + 5). C'est la factorisation la plus simple, et il faut y penser avant de chercher une identité.
Comment vérifier une factorisation ?
En redéveloppant le produit obtenu : on doit retrouver exactement l'expression de départ. Le contrôle prend quelques secondes et détecte toutes les erreurs de signe.
En quelle classe apprend-on tout cela ?
La distributivité simple dès la cinquième, la double distributivité en quatrième, et les identités remarquables en troisième. La seconde les réutilise pour les équations et les fonctions polynômes.
Le cours qui va avec
Pour la méthode complète et les exercices corrigés :