Vecteurs et repérage dans le plan : 12 exercices corrigés de 2nde

Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. Ces affirmations sont-elles vraies ou fausses ?

Méthode : Méthode du cours : pour comparer deux vecteurs, vérifie les TROIS caractéristiques : direction (la droite), sens (la flèche) et longueur. Il suffit qu'une seule diffère pour que les vecteurs soient différents.

ABCD est un parallélogramme de centre O (point d'intersection des diagonales). Ces égalités vectorielles sont-elles vraies ou fausses ?

Méthode : Méthode du cours : dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. Le point O est donc le milieu de [AC] et de [BD], ce qui se traduit par des égalités vectorielles.

Soit ABC un triangle. On place le point E tel que le vecteur AE soit égal au vecteur BC.
a. Quelle est la nature du quadrilatère ABCE ? Réponds par le nom du quadrilatère, ou par « aucune des deux » si ce n'en est pas un.
b. Quelle est la nature du quadrilatère ABCE lorsqu'on considère l'ordre A, B, C, E ? Précise quel quadrilatère est un parallélogramme en donnant ses quatre sommets dans le bon ordre.

Méthode : Méthode du cours : l'égalité de vecteurs XY = ZT caractérise le parallélogramme XYTZ (attention à l'ordre des sommets !). Ici AE = BC donne le parallélogramme AECB.

La relation de Chasles permet d'enchaîner deux vecteurs. Complète chaque somme par le nom du vecteur obtenu.
a. Vecteur AB + vecteur BC = vecteur … (donne les deux lettres)
b. Vecteur MN + vecteur NP = vecteur … (donne les deux lettres)
c. Vecteur AB + vecteur BA = … (réponds par « vecteur nul » ou par deux lettres)

Méthode : Méthode du cours : dans une somme, le point d'ARRIVÉE du premier vecteur doit être le point de DÉPART du second. Le résultat va alors du premier départ à la dernière arrivée : c'est la relation de Chasles.

Simplifie chaque somme de vecteurs en un seul vecteur, en utilisant la relation de Chasles.
a. Vecteur AB + vecteur BC + vecteur CD
b. Vecteur AB + vecteur BC + vecteur CA
c. Vecteur MP + vecteur PM

Méthode : Méthode du cours : enchaîne les vecteurs de proche en proche. Lorsque le point d'arrivée final est identique au point de départ initial, la somme vaut le vecteur nul.

Soit ABC un triangle et I le milieu du segment [BC].
a. Simplifie la somme : vecteur AB + vecteur BI. Donne le vecteur obtenu (deux lettres).
b. Le vecteur BI est égal au vecteur IC : quelle est la nature du point I pour le segment [BC] ? Réponds en un mot.
c. Simplifie la somme : vecteur IB + vecteur IC. Réponds par « vecteur nul » ou par deux lettres.

Méthode : Méthode du cours : applique Chasles pour la question a. Pour la question c., les vecteurs IB et IC ont même longueur, même direction et des sens opposés : ils sont opposés, leur somme est donc nulle.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On donne A(2 ; 3) et B(5 ; 7).
a. Donne les coordonnées du vecteur AB, sous la forme (x ; y).
b. Donne les coordonnées du vecteur BA, sous la forme (x ; y).

Méthode : Méthode du cours : les coordonnées du vecteur AB s'obtiennent en soustrayant les coordonnées de A à celles de B : (xB − xA ; yB − yA). Les vecteurs AB et BA sont opposés : leurs coordonnées sont opposées.

Dans un repère orthonormé, on donne les vecteurs u de coordonnées (2 ; −3) et v de coordonnées (−1 ; 5).
a. Donne les coordonnées du vecteur u + v, sous la forme (x ; y).
b. Donne les coordonnées du vecteur 3u, sous la forme (x ; y).
c. Donne les coordonnées du vecteur −v, sous la forme (x ; y).

Méthode : Méthode du cours : pour additionner deux vecteurs, on additionne leurs abscisses entre elles et leurs ordonnées entre elles. Pour multiplier un vecteur par un réel, on multiplie chacune de ses coordonnées par ce réel.

Dans un repère orthonormé, on donne A(1 ; 1), B(4 ; 2) et C(5 ; 5).
a. Donne les coordonnées du vecteur AB, sous la forme (x ; y).
b. Le point D est tel que ABCD est un parallélogramme : donne les coordonnées de D, sous la forme (x ; y).

Méthode : Méthode du cours : ABCD est un parallélogramme si et seulement si le vecteur AB est égal au vecteur DC. Écris cette égalité avec les coordonnées : xC − xD = 3 et yC − yD = 1.

Le plan est muni d'un repère orthonormé.
a. On donne A(2 ; 3) et B(5 ; 7) : calcule la distance AB.
b. On donne C(−2 ; 1) et D(1 ; 5) : calcule la distance CD.

Méthode : Méthode du cours : dans un repère ORTHONORMÉ, la distance entre deux points se calcule avec la formule AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²), qui vient du théorème de Pythagore.

Dans un repère orthonormé, la norme d'un vecteur u de coordonnées (x ; y) est sa longueur : elle vaut √(x² + y²).
a. Calcule la norme du vecteur u de coordonnées (−3 ; 4).
b. Calcule la norme du vecteur v de coordonnées (6 ; 8).
c. Donne la valeur exacte de la norme du vecteur w de coordonnées (1 ; 1).

Méthode : Méthode du cours : élève chaque coordonnée au carré, additionne, puis prends la racine carrée. Attention : (−3)² = 9, et non −9. Pour la question c., la valeur exacte s'écrit avec le symbole racine.

Dans un repère orthonormé, on donne A(2 ; 3), B(5 ; 7) et C(9 ; 4).
a. Calcule la distance AB.
b. Calcule la distance BC.
c. Quelle est la nature du triangle ABC ? Réponds par « isocèle en B », « rectangle en B » ou « rectangle et isocèle en B ».

Méthode : Méthode du cours : calcule les trois distances. Ici AB = BC, donc le triangle est isocèle en B. Calcule aussi AC² = 50 et compare à AB² + BC² = 25 + 25 : la réciproque du théorème de Pythagore s'applique.