Variations et extremums d'une fonction : 12 exercices corrigés de 2nde

Une fonction g est définie sur [−3 ; 5]. Son tableau de variations indique : g croissante sur [−3 ; −1], décroissante sur [−1 ; 4], croissante sur [4 ; 5], avec g(−3) = 1, g(−1) = 6, g(4) = −3 et g(5) = 7.
a. Quelle est l'image de −1 par g ?
b. Quelle est l'image de 4 par g ?
c. Sur quel intervalle g est-elle décroissante ? Réponds sous la forme [a ; b].

Méthode : Méthode du cours : dans un tableau de variations, la première ligne donne les valeurs remarquables de x, et les images sont écrites au bout des flèches. Une flèche qui descend signifie que la fonction décroît.

Une fonction f est définie sur [3 ; 10]. Son tableau de variations est : f croissante de f(3) = 4 à f(5) = 9, puis décroissante jusqu'à f(6) = −4, puis croissante jusqu'à f(10) = 1. Ces affirmations sont-elles vraies, fausses, ou ne peut-on pas conclure ?

Méthode : Méthode du cours : deux nombres situés dans un même intervalle de monotonie se comparent grâce au sens de variation. S'ils sont dans des intervalles différents, il faut comparer les images données par le tableau.

Une fonction f est définie sur [−1 ; 5]. On sait que f(−1) = 0, f(2) = 3, f(4) = −2 et f(5) = 0, que f est croissante sur [−1 ; 2], décroissante sur [2 ; 4] et croissante sur [4 ; 5].
a. Quelle est la plus grande valeur prise par f sur [−1 ; 5] ?
b. En quelle valeur de x ce maximum est-il atteint ?
c. Quelle est la plus petite valeur prise par f sur [−1 ; 5] ?

Méthode : Méthode du cours : dresse le tableau de variations à partir de l'énoncé. Le maximum et le minimum sur l'intervalle se lisent parmi les valeurs situées aux extrémités des flèches.

Soit f une fonction définie sur [0 ; 10] telle que, pour tout x de cet intervalle, f(x) ⩽ 12, et telle que f(4) = 12. Que peut-on affirmer ?

Méthode : Méthode du cours : dire que 12 est le maximum de f sur un intervalle signifie DEUX choses : toutes les images sont inférieures ou égales à 12, ET la valeur 12 est effectivement atteinte par la fonction.

Une fonction f est définie sur [−2 ; 5] : f(−2) = 2, f(2) = −3, f(5) = 0, f est décroissante sur [−2 ; 2] et croissante sur [2 ; 5].
a. Quel est le minimum de f sur [−2 ; 5] ?
b. En quelle valeur de x est-il atteint ?
c. Quel est le maximum de f sur [−2 ; 5] ?

Méthode : Méthode du cours : la fonction descend jusqu'en x = 2, puis remonte : la valeur f(2) est donc la plus petite. Pour le maximum, compare les valeurs aux deux extrémités de l'intervalle.

Cinq fonctions sont décrites par leur tableau de variations. Indique, pour chacune, si elle admet un maximum sur son ensemble de définition.

Méthode : Méthode du cours : une fonction admet un maximum si l'une des valeurs atteintes est supérieure ou égale à toutes les autres. Sur un intervalle non borné où la fonction croît indéfiniment, il n'y a pas de maximum.

Pour chacune de ces fonctions affines, indique si elle est croissante ou décroissante sur ℝ.

Méthode : Méthode du cours : une fonction affine f(x) = mx + p est croissante sur ℝ si m > 0 et décroissante si m < 0. Attention à f₃ : réécris-la sous la forme 2x − 3 pour repérer m.

Soit f la fonction affine définie par f(x) = 5x − 4.
a. Calcule f(1).
b. Calcule f(2).
c. Calcule la différence f(2) − f(1) : que représente ce nombre pour la fonction affine ? Réponds par « le coefficient directeur » ou « l'ordonnée à l'origine ».

Méthode : Méthode du cours : pour une fonction affine, quand x augmente de 1, l'image augmente toujours de m. Le coefficient directeur s'appelle aussi taux d'accroissement pour cette raison.

On veut démontrer qu'une fonction affine f définie par f(x) = mx + p avec m > 0 est croissante sur ℝ. Soient x₁ et x₂ deux réels tels que x₁ < x₂.
a. Calcule et réduis la différence f(x₂) − f(x₁), en fonction de m, x₁ et x₂.
b. Quel est le signe de x₂ − x₁ ? Réponds par « positif » ou « négatif ».
c. Quel est alors le signe de f(x₂) − f(x₁) lorsque m > 0 ? Même consigne.

Méthode : Méthode du cours : f(x₂) − f(x₁) = (mx₂ + p) − (mx₁ + p) : les p se simplifient. Le signe d'un produit se déduit de la règle des signes : un produit de deux nombres positifs est positif, donc f(x₁) < f(x₂) et f est croissante.

Une entreprise produit x vases. Le coût de production, en euros, est C(x) = x² − 10x + 500 et chaque vase est vendu 50 euros, donc la recette est R(x) = 50x.
a. Calcule C(50), en euros.
b. Calcule R(50), en euros.
c. Quel est le bénéfice réalisé pour 50 vases, en euros ?

Méthode : Méthode du cours : remplace x par 50 dans chaque expression. Le bénéfice est la recette diminuée du coût : si les deux sont égaux, l'entreprise ne gagne rien.

On reprend le bénéfice B(x) = −x² + 60x − 500, exprimé en euros pour x vases vendus. On admet que B(x) = −(x − 30)² + 400.
a. Calcule B(30), en euros.
b. Pour tout x, le nombre (x − 30)² est positif ou nul : quelle est alors la plus grande valeur possible de B(x) ?
c. Pour combien de vases le bénéfice est-il maximal ?

Méthode : Méthode du cours : dans l'écriture −(x − 30)² + 400, on retranche à 400 un nombre toujours positif ou nul. Le résultat est donc toujours inférieur ou égal à 400, avec égalité quand le carré est nul.

On reprend l'enclos d'aire A(x) = −2x² + 40x, où x est la largeur en mètres. Un logiciel de calcul formel indique que A(x) = −2(x − 10)² + 200.
a. Quelle est l'aire maximale de l'enclos, en mètres carrés ?
b. Pour quelle largeur x, en mètres, est-elle atteinte ?
c. Quelle est alors la longueur de l'enclos, en mètres, sachant qu'elle vaut 40 − 2x ?

Méthode : Méthode du cours : dans −2(x − 10)² + 200, le terme −2(x − 10)² est toujours négatif ou nul. L'aire est donc maximale quand ce terme est nul, c'est-à-dire pour x = 10.