Inégalités et inéquations : 12 exercices corrigés de 2nde

Pour comparer deux nombres A et B, on peut étudier le signe de leur différence A − B. Complète : si A − B est positif, alors …

Méthode : Méthode du cours : comparer A et B revient à comparer A − B à 0. Une différence positive signifie que le premier nombre est le plus grand.

On pose A = 5 + 2x et B = x + 9, où x est un nombre réel.
a. Calcule et réduis la différence A − B.
b. Pour quelle valeur de x a-t-on A = B ?
c. Pour quelles valeurs de x a-t-on A > B ? Donne l'ensemble sous forme d'intervalle.

Méthode : Méthode du cours : la différence A − B dépend ici de x. Étudie son signe : x − 4 est positif quand x est plus grand que 4.

Trois nombres vérifient A > B > C > 0.
a. Compare le quotient A/B au nombre 1 : réponds par « plus grand que 1 » ou « plus petit que 1 ».
b. Compare le quotient C/B au nombre 1 : même consigne.
c. Pour x ⩾ 1, compare le quotient (2x + 3)/(2x + 7) au nombre 1 : même consigne.

Méthode : Méthode du cours : pour deux nombres strictement positifs, comparer leur quotient à 1 revient à les comparer entre eux. Si le numérateur est plus grand que le dénominateur, le quotient dépasse 1.

Soit x un nombre réel tel que x ⩽ 1 000. Quelle inégalité peut-on en déduire dans chaque cas ?

Méthode : Méthode du cours : ajouter ou soustraire un même nombre ne change pas le sens d'une inégalité ; multiplier ou diviser par un nombre strictement POSITIF non plus ; multiplier ou diviser par un nombre strictement NÉGATIF CHANGE le sens.

Soit a un nombre réel tel que −3 ⩽ a ⩽ 1,5.
a. Donne la borne inférieure de l'encadrement de 2a.
b. Donne la borne supérieure de l'encadrement de 2a.
c. Donne la borne inférieure de l'encadrement de 2a − 8.
d. Donne la borne supérieure de l'encadrement de 2a − 8.

Méthode : Méthode du cours : procède en deux étapes. Multiplie d'abord l'encadrement par 2, puis soustrais 8 aux trois membres du nouvel encadrement.

Les dimensions d'un rectangle, en centimètres, vérifient 2,4 ⩽ ℓ ⩽ 2,5 pour la largeur et 5,54 ⩽ L ⩽ 5,56 pour la longueur. On note p le périmètre du rectangle, en centimètres.
a. Donne la borne inférieure de l'encadrement de p.
b. Donne la borne supérieure de l'encadrement de p.

Méthode : Méthode du cours : le périmètre vaut p = 2(ℓ + L). Additionne d'abord membre à membre les deux encadrements pour encadrer ℓ + L, puis multiplie par 2.

Résous chaque inéquation dans ℝ. Donne la réponse sous la forme d'une inégalité du type x ⩽ … ou x ⩾ …
a. x + 2 ⩾ 12
b. 4x ⩽ 36
c. −2x ⩽ 24

Méthode : Méthode du cours : on résout une inéquation comme une équation, avec UNE différence essentielle : quand on divise (ou multiplie) par un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité. C'est le cas dans la question c.

Résous chaque inéquation dans ℝ et donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
a. 2x + 3 < 4 − 5x
b. 2(x − 4) ⩽ 4x − 5

Méthode : Méthode du cours : regroupe les x d'un côté et les nombres de l'autre. Dans la question b., tu obtiens −2x ⩽ 3 : en divisant par −2, le sens de l'inégalité change.

Certaines inéquations n'ont aucune solution, d'autres sont vérifiées par tous les réels. Donne l'ensemble des solutions de chaque inéquation.

Méthode : Méthode du cours : développe et réduis. Si tous les termes en x disparaissent, il reste une inégalité entre deux nombres : soit elle est toujours vraie (tous les réels conviennent), soit elle est toujours fausse (aucune solution).

Marco a une somme d'argent S, en euros, comprise entre 100 et 160 euros sur un compte en banque.
a. Ses parents lui ajoutent 30 euros : donne la borne inférieure de l'encadrement de la nouvelle somme, en euros.
b. Donne la borne supérieure de cette nouvelle somme, en euros.
c. Il dépense ensuite 80 euros pour un vélo d'occasion : donne la borne inférieure de la somme restante, en euros.

Méthode : Méthode du cours : traduis chaque opération sur l'encadrement 100 ⩽ S ⩽ 160. Ajouter 30 euros décale les deux bornes de 30 ; dépenser 80 euros les diminue de 80.

Une ville propose deux tarifs pour son réseau de transports. Tarif Abonn' : 10 euros par mois pour un nombre de trajets illimité. Tarif Unit' : une carte valant 2 euros, puis 1,90 euro par trajet. On note x le nombre de trajets effectués dans l'année.
a. Exprime le prix annuel du tarif Abonn', en euros.
b. Exprime le prix annuel du tarif Unit' en fonction de x, en euros.
c. Jusqu'à combien de trajets annuels le tarif Unit' est-il strictement plus intéressant ?

Méthode : Méthode du cours : le tarif Abonn' coûte 10 × 12 euros par an. Résous l'inéquation 2 + 1,9x < 120 : tu trouves x < 62,1, donc le plus grand nombre entier de trajets qui convient est 62.

Au 1ᵉʳ janvier 2019, d'après l'Insee, la région Nouvelle-Aquitaine comptait 6 010 289 habitants et progressait en moyenne de 27 700 habitants par an. La région Occitanie comptait 5 933 185 habitants et progressait de 41 600 habitants par an. On suppose que ces modèles restent valables et on note x le nombre d'années écoulées depuis 2019.
a. Exprime la population de l'Occitanie en fonction de x.
b. En quelle année la population de l'Occitanie dépassera-t-elle 6 500 000 habitants ?
c. En quelle année la population de l'Occitanie dépassera-t-elle celle de la Nouvelle-Aquitaine ?

Méthode : Méthode du cours : traduis chaque question par une inéquation. Pour la question b. : 5 933 185 + 41 600x > 6 500 000 donne x > 13,6… donc x = 14. Pour la question c., compare les deux expressions : la différence des progressions annuelles est de 13 900 habitants.