Généralités sur les fonctions : 12 exercices corrigés de 2nde

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = 3x² − 7.
a. Calcule f(3).
b. Calcule f(0).
c. Calcule f(−2).

Méthode : Méthode du cours : remplace x par la valeur donnée dans l'expression, puis calcule en respectant les priorités. Attention pour f(−2) : (−2)² = 4, et non −4.

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = −3x − 4.
a. Détermine l'antécédent de 10 par cette fonction, sous forme de fraction irréductible.
b. Détermine l'antécédent de −4 par f.

Méthode : Méthode du cours : chercher un antécédent de k, c'est résoudre l'équation f(x) = k. Ici, résous −3x − 4 = 10, puis −3x − 4 = −4.

Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x) = (3x + 6)(x − 9).
a. Calcule g(0).
b. Cette fonction a deux antécédents de 0 : donne le plus petit.
c. Donne le plus grand.

Méthode : Méthode du cours : pour la question a., remplace x par 0 dans les deux facteurs. Pour les antécédents de 0, résous l'équation produit (3x + 6)(x − 9) = 0 avec la règle du produit nul.

Un point appartient à une courbe d'équation y = f(x) lorsque ses coordonnées vérifient cette équation. Réponds pour chaque point.

Méthode : Méthode du cours : remplace x par l'abscisse du point dans l'équation, puis compare le résultat obtenu à l'ordonnée du point. S'ils sont égaux, le point est sur la courbe.

On considère la courbe d'équation y = x² − 3.
a. Calcule l'ordonnée du point de cette courbe qui a pour abscisse −4.
b. Le point M(5 ; 22) appartient-il à cette courbe ? Réponds par oui ou par non.
c. Calcule l'ordonnée du point de cette courbe qui a pour abscisse 0.

Méthode : Méthode du cours : l'ordonnée d'un point de la courbe d'équation y = f(x) s'obtient en calculant f(abscisse). Pour la question b., compare 5² − 3 à 22.

On considère la courbe d'équation y = 2x + m, où m est un nombre réel à déterminer.
a. Sachant que le point A(3 ; 1) appartient à cette courbe, calcule la valeur de m.
b. Avec cette valeur de m, calcule l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 0.

Méthode : Méthode du cours : écrire que A appartient à la courbe donne l'égalité 1 = 2 × 3 + m. Résous cette équation d'inconnue m, puis utilise l'équation complète pour la question b.

Toujours avec la courbe de la fonction carré f définie sur [−3 ; 3] par f(x) = x², résous graphiquement l'inéquation f(x) < 4.

Méthode : Méthode du cours : résoudre f(x) < 4, c'est chercher les abscisses des points de la courbe situés STRICTEMENT EN DESSOUS de la droite horizontale d'équation y = 4.

Avec le même graphique (Cf en rouge, Cg en bleu, sur l'intervalle [−2 ; 6]), résous graphiquement l'inéquation f(x) < g(x).

Méthode : Méthode du cours : résoudre f(x) < g(x), c'est repérer les abscisses pour lesquelles la courbe Cf est SOUS la courbe Cg. Repère d'abord leur point d'intersection.

Les fonctions f et g sont définies sur ℝ par f(x) = 2x − 1 et g(x) = −x + 5.
a. Résous algébriquement l'équation f(x) = g(x).
b. Calcule l'ordonnée commune des deux points correspondants.
c. Résous algébriquement l'inéquation f(x) < g(x) et donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

Méthode : Méthode du cours : l'équation f(x) = g(x) s'écrit 2x − 1 = −x + 5. Pour l'inéquation, résous 2x − 1 < −x + 5 : le résultat doit confirmer la lecture graphique.

Un mobile se déplace à la vitesse constante de 5 mètres par seconde. On note d(x) la distance parcourue, en mètres, au bout de x secondes.
a. Donne l'expression de d(x) en fonction de x.
b. Quelle distance le mobile a-t-il parcourue au bout de 7 secondes, en mètres ?
c. Au bout de combien de secondes a-t-il parcouru 60 mètres ?

Méthode : Méthode du cours : à vitesse constante, distance = vitesse × durée. La question c. revient à chercher un antécédent : résous 5x = 60.

Un artisan fabrique des objets. Son coût de production, en euros, est donné par C(x) = 2x + 50, où x est le nombre d'objets fabriqués. Il vend chaque objet 7 euros, donc sa recette est R(x) = 7x.
a. Calcule le coût de production de 20 objets, en euros.
b. Calcule la recette obtenue pour 20 objets, en euros.
c. Donne l'expression du bénéfice B(x) = R(x) − C(x), réduite.

Méthode : Méthode du cours : remplace x par 20 dans chaque expression. Pour la question c., soustrais les deux expressions en pensant à changer les signes : 7x − (2x + 50) = 7x − 2x − 50.

On reprend le rectangle de périmètre 30 cm, dont l'aire est A(x) = x(15 − x), où x est la largeur en centimètres.
a. À quel intervalle la largeur x doit-elle appartenir pour que le rectangle existe ?
b. Développe et réduis l'expression A(x).
c. Calcule A(7,5), qui correspond au cas où le rectangle est un carré.

Méthode : Méthode du cours : la largeur doit être strictement positive, et la longueur 15 − x aussi, ce qui impose x < 15. Pour la question c., remplace x par 7,5 : le rectangle a alors deux côtés égaux.