Fonctions de référence : carré, inverse, valeur absolue : 12 exercices corrigés de 2nde

Soit f la fonction carré, définie sur ℝ par f(x) = x², et g la fonction inverse, définie sur ℝ privé de 0 par g(x) = 1/x.
a. Calcule f(−3).
b. Calcule f(0,5).
c. Calcule g(4).
d. Calcule g(−2).

Méthode : Méthode du cours : la fonction carré associe à x son carré, la fonction inverse associe à x le nombre 1/x. Attention : (−3)² = 9 (positif), alors que 1/(−2) = −0,5 (négatif).

On s'intéresse aux variations de la fonction carré et de la fonction inverse. Ces affirmations sont-elles vraies ou fausses ?

Méthode : Méthode du cours : la parabole « descend » puis « remonte », avec un minimum en 0. Les deux branches de l'hyperbole descendent toutes les deux : la fonction inverse est décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.

On veut démontrer que la fonction carré est croissante sur [0 ; +∞[. Soient a et b deux réels tels que 0 ⩽ a < b, puis réponds aux questions.
a. Compare a × a et a × b : réponds par « a² < ab » ou « a² > ab ».
b. Compare a × b et b × b : réponds par « ab < b² » ou « ab > b² ».
c. Que peut-on en déduire pour a² et b² ? Réponds par « a² < b² » ou « a² > b² ».

Méthode : Méthode du cours : multiplie l'inégalité a < b par le nombre positif a, puis par le nombre positif b : le sens ne change pas. Enchaîne ensuite les deux résultats par transitivité.

Soit f la fonction valeur absolue, définie sur ℝ par f(x) = |x|.
a. Calcule f(−7).
b. Calcule f(3).
c. Calcule f(−0,5).
d. Calcule f(0).

Méthode : Méthode du cours : la valeur absolue d'un nombre est sa distance à 0, elle est donc toujours positive. Si le nombre est négatif, sa valeur absolue est son opposé.

On s'intéresse aux variations de la fonction valeur absolue f définie par f(x) = |x|. Ces affirmations sont-elles vraies ou fausses ?

Méthode : Méthode du cours : sur la partie négative, plus x augmente (en se rapprochant de 0), plus la distance à 0 diminue : la fonction décroît. Sur la partie positive, elle croît. Elle n'est bornée par aucune valeur maximale.

Combien de solutions chaque équation admet-elle dans ℝ ?

Méthode : Méthode du cours : graphiquement, on cherche les points d'intersection de la courbe en V avec une droite horizontale. Cette droite coupe le V en deux points si sa hauteur est strictement positive, en un seul point si elle vaut 0, et en aucun point si elle est négative.

Compare les nombres suivants sans utiliser de calculatrice, en t'appuyant sur les variations des fonctions de référence.

Méthode : Méthode du cours : pour deux nombres négatifs, la fonction carré est décroissante : elle range les carrés dans l'ordre inverse. Pour deux nombres positifs, la fonction inverse est décroissante : le plus grand nombre a le plus petit inverse.

Compare les nombres suivants sans calculatrice.

Méthode : Méthode du cours : pour comparer deux carrés, compare les distances à 0 des nombres de départ. Pour deux inverses de nombres négatifs, souviens-toi que la fonction inverse est décroissante sur ]−∞ ; 0[.

Dans chaque cas, encadre le nombre x connaissant un encadrement de son inverse.
a. Si 1 < 1/x < 3, donne la borne inférieure de l'encadrement de x.
b. Donne la borne supérieure de cet encadrement de x.
c. Si 2/3 < 1/x < 7/6, donne la borne inférieure de l'encadrement de x, sous forme de fraction irréductible.

Méthode : Méthode du cours : applique de nouveau la fonction inverse, qui est décroissante sur ]0 ; +∞[ : l'encadrement 1 < 1/x < 3 donne 1/3 < x < 1. L'inverse de 7/6 est 6/7.

Résous chaque équation avec la fonction inverse.
a. Résous 1/x = 2 et donne la solution.
b. Résous 1/x = −4 et donne la solution.
c. Résous 1/x = 1 et donne la solution.

Méthode : Méthode du cours : si 1/x = k avec k non nul, alors x = 1/k. Graphiquement, on cherche le point de l'hyperbole situé à la hauteur k.

Résous chaque inéquation dans ℝ et donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles.
a. x² < 9
b. x² ⩾ 4

Méthode : Méthode du cours : sur la parabole, x² < 9 correspond à la partie de la courbe SOUS la droite d'équation y = 9, c'est-à-dire entre les deux points d'intersection. Pour x² ⩾ 4, c'est au contraire à l'extérieur, d'où une réunion de deux intervalles.

On donne le tableau de valeurs de la fonction racine carrée : √0 = 0 ; √1 = 1 ; √4 = 2 ; √9 = 3 ; √16 = 4 ; √25 = 5. Cette fonction est définie sur [0 ; +∞[ et sa courbe est croissante.
a. Résous l'équation √x = 3 et donne la solution.
b. Résous l'équation √x = 5 et donne la solution.
c. L'équation √x = −1 a-t-elle une solution ? Réponds par oui ou par non.

Méthode : Méthode du cours : la racine carrée d'un nombre est toujours positive, donc l'équation √x = k n'a de solution que si k est positif. Dans ce cas, la solution vaut k².