Équations : produit nul, quotient et x² = a : 15 exercices corrigés de 2nde

Un nombre est solution d'une équation lorsqu'il rend l'égalité vraie. Réponds aux questions suivantes.
a. Le nombre 3 est-il solution de 5x − 2 = 4x + 1 ? Réponds par oui ou par non.
b. Le nombre −2 est-il solution de x(3x + 4) = (2x + 5)(x − 2) ? Réponds par oui ou par non.

Méthode : Méthode du cours : remplace x par la valeur proposée dans le membre de gauche, puis dans le membre de droite, et compare les deux résultats. Pour la question a. : 5 × 3 − 2 = 13 et 4 × 3 + 1 = 13.

Résous chaque équation dans ℝ et donne la valeur de x sous forme de fraction irréductible.
a. −5x + 3 = −3x + 2
b. 3(x + 4) = −(x + 5) + 2

Méthode : Méthode du cours : ramène les « x » à gauche et les nombres à droite, réduis, puis divise par le coefficient de x. Vérifie ton résultat en le remplaçant dans l'équation de départ.

Certaines équations n'ont aucune solution, d'autres en ont une infinité. Pour chaque équation, indique son ensemble de solutions.

Méthode : Méthode du cours : réduis l'équation. Si les termes en x disparaissent et qu'il reste une égalité fausse (comme 3 = 5), il n'y a aucune solution. S'il reste une égalité toujours vraie (comme 3 = 3), tous les réels conviennent.

Résous l'équation (3x + 1)(x − 5) = 0.
a. Donne la solution négative.
b. Donne la solution positive.

Méthode : Méthode du cours : si un produit de facteurs est nul, alors l'un au moins des facteurs est nul. On résout donc 3x + 1 = 0, puis x − 5 = 0.

On pose E = (3x + 2)(4x − 2) + (4x − 2)(x − 6).
a. Factorise E.
b. Résous E = 0 et donne la plus petite des deux solutions.
c. Donne la plus grande des deux solutions.

Méthode : Méthode du cours : le facteur commun est (4x − 2). Une fois l'expression factorisée, applique la règle du produit nul à chacun des deux facteurs.

Résous l'équation (7x − 2)(2 − 3x) + (4x + 3)(7x − 2) = 0.
a. Donne la solution positive, sous forme de fraction irréductible.
b. Donne la solution négative.

Méthode : Méthode du cours : le facteur commun est (7x − 2). En le mettant en facteur, on obtient (7x − 2)(2 − 3x + 4x + 3) = 0, soit (7x − 2)(x + 5) = 0.

On considère l'équation (3x + 5)/(x − 1) = 0.
a. Donne la valeur interdite de cette équation.
b. Donne la solution, sous forme de fraction irréductible.

Méthode : Méthode du cours : un quotient est nul si et seulement si son NUMÉRATEUR est nul et son dénominateur non nul. Cherche d'abord la valeur qui annule le dénominateur : elle est interdite.

On considère l'équation (2x + 1)(x − 3)/(x − 4) = 0.
a. Donne la valeur interdite.
b. Donne la solution négative.
c. Donne la solution positive.

Méthode : Méthode du cours : le quotient est nul quand le numérateur l'est. Le numérateur est ici un produit : applique la règle du produit nul, puis vérifie qu'aucune solution trouvée n'est la valeur interdite.

On considère l'équation (3x − 1)/(x + 2) = 2.
a. Donne la valeur interdite.
b. Donne la solution.

Méthode : Méthode du cours : pour x différent de la valeur interdite, multiplie les deux membres par (x + 2). L'équation devient 3x − 1 = 2(x + 2), une équation du premier degré.

Combien de solutions chaque équation admet-elle dans ℝ ?

Méthode : Méthode du cours : l'équation x² = a admet deux solutions opposées si a > 0, une seule solution (0) si a = 0, et aucune solution si a < 0, car un carré n'est jamais négatif.

Résous l'équation x² = 20 et donne les valeurs exactes des solutions, écrites sous la forme a√b.
a. Donne la solution positive.
b. Donne la solution négative.

Méthode : Méthode du cours : les solutions sont √20 et −√20. On simplifie ensuite √20 = √(4 × 5) = 2√5. La consigne demande la valeur EXACTE : ne donne pas la valeur approchée de la calculatrice.

Résous chaque équation en te ramenant à la forme x² = a.
a. Pour 9x² − 36 = 0, donne la solution positive.
b. Pour 25x² = 4, donne la solution positive, sous forme de fraction irréductible.
c. Pour 4x² + 4x + 1 = 0, donne l'unique solution.

Méthode : Méthode du cours : isole x² dans les deux premières équations. Pour la question c., reconnais l'identité remarquable 4x² + 4x + 1 = (2x + 1)² : un carré est nul seulement si ce qu'il contient est nul.

En électricité, la loi d'Ohm s'écrit U = R × I, où U est la tension en volts, R la résistance en ohms et I l'intensité en ampères.
a. Exprime I en fonction de U et de R.
b. Calcule I lorsque U = 12 V et R = 40 Ω. Donne le résultat en ampères.

Méthode : Méthode du cours : pour isoler I dans U = R × I, divise les deux membres par R (qui n'est pas nul). Effectue ensuite l'application numérique.

On considère l'égalité −5y − 2x + 4 = 0, où x et y sont deux nombres réels. Exprime y en fonction de x, sous la forme y = mx + p.

Méthode : Méthode du cours : isole le terme en y d'un côté, puis divise tout par son coefficient. Ici −5y = 2x − 4, donc y = (2x − 4)/(−5).

Le volume d'un cylindre de rayon r et de hauteur h est donné par V = πr²h.
a. Exprime h en fonction de V et de r.
b. Une boîte de conserve cylindrique a un volume de 425 cm³ et un rayon de 4 cm. Calcule sa hauteur, arrondie au dixième de centimètre. On prendra π ≈ 3,14.

Méthode : Méthode du cours : pour isoler h, divise les deux membres par πr². Pour l'application numérique, calcule d'abord πr² ≈ 3,14 × 16, puis divise 425 par ce résultat.