Niveau 4ᵉ · Cours
En 5e, tu reconnais la proportionnalité dans un tableau grâce au coefficient de proportionnalité. On repart de là.
Grandeur 1 : 1 ; 2 ; 3 → Grandeur 2 : 1,2 ; 2,4 ; 3,6.
On passe de la 1ʳᵉ à la 2ᵉ ligne en multipliant par 1,2 : c'est le coefficient.
Un tableau est proportionnel s'il existe un coefficient (× le même nombre).
En 4e : le graphique, le produit en croix, les formules et la géométrie.
On peut reconnaître une situation de proportionnalité de deux façons : dans un tableau (avec les produits en croix) ou sur un graphique.
Produits en croix : un tableau est proportionnel si a × d = b × c (les deux « diagonales » donnent le même produit).
Tableau 3 → 8,4 et 4 → 11,2 : 3 × 11,2 = 33,6 et 4 × 8,4 = 33,6.
Égaux → le tableau est proportionnel.
Sur un graphique : une situation de proportionnalité est représentée par des points ALIGNÉS et passant par l'ORIGINE (le point (0 ; 0)).
Tableau : a × d = b × c (produits en croix).
Graphique : points alignés ET passant par l'origine.
Question 1 — Sur un graphique, une situation de proportionnalité est représentée par…
Question 2 — Tableau : 2 → 6 et 5 → 15. Est-il proportionnel ? (produits en croix)
Question 3 — Des points sont alignés sur une droite qui ne passe pas par l'origine. Proportionnel ?
Quand un tableau de proportionnalité a trois valeurs connues et une inconnue, on calcule la quatrième grâce au produit en croix.
Méthode du produit en croix : on multiplie les deux valeurs « en diagonale », puis on divise par la valeur qui reste (dans la colonne).
Tableau : 4 → 5 et 2 → x.
x = (5 × 2) ÷ 4 = 2,5.
Francine paie 3 € pour 2,5 kg de farine. Combien coûte 1,8 kg ?
x = (1,8 × 3) ÷ 2,5 = 2,16 €.
4ᵉ proportionnelle : (produit de la diagonale connue) ÷ (valeur restante).
Range bien les grandeurs de même type sur la même ligne.
Question 1 — 4 stylos coûtent 6 €. Combien coûtent 6 stylos ?
Question 2 — Tableau : 5 → 8 et 15 → x. Que vaut x ?
Question 3 — Pour 4 personnes, il faut 300 g de farine. Combien pour 6 personnes ?
Certaines grandeurs sont liées par une formule de proportionnalité. L'exemple le plus connu est la vitesse : à vitesse constante, la distance est proportionnelle au temps.
Vitesse moyenne : V = D ÷ T (distance ÷ temps).
On en déduit : D = V × T et T = D ÷ V.
À 120 km/h, on parcourt 120 km en 1 h (et 240 km en 2 h).
Un train qui fait 300 km en 2 h roule à V = 300 ÷ 2 = 150 km/h.
Un robinet a un débit constant : il remplit 3 L en 2 min.
En 10 min, il remplit (3 × 10) ÷ 2 = 15 L (le volume est proportionnel au temps).
Vitesse : V = D ÷ T, D = V × T, T = D ÷ V.
Débit, prix, consommation… : de nombreuses grandeurs sont liées par une formule de proportionnalité.
Question 1 — Une voiture roule à 90 km/h. Quelle distance parcourt-elle en 2 heures ?
Question 2 — Un train parcourt 300 km en 3 heures. Quelle est sa vitesse moyenne ?
Question 3 — Un robinet remplit 4 L en 2 min. Quel volume en 5 min ?
Sur une carte ou un plan, les distances sont proportionnelles aux distances réelles : c'est l'échelle. De même, agrandir ou réduire une figure multiplie toutes ses longueurs par un même nombre.
Une échelle 1/n signifie : 1 unité sur le plan = n unités dans la réalité.
distance réelle = distance sur le plan × n.
distance sur le plan = distance réelle ÷ n.
Échelle 1/25 000 : 8 cm sur la carte = 8 × 25 000 = 200 000 cm = 2 km en vrai.
Agrandissement : si un côté de 6 cm devient 15 cm, le rapport est 15 ÷ 6 = 2,5 ; un côté de 4 cm devient alors 4 × 2,5 = 10 cm.
Échelle 1/n : réel = plan × n ; plan = réel ÷ n.
Agrandir/réduire : on multiplie toutes les longueurs par le même rapport.
Question 1 — Une maquette est à l'échelle 1/50. Une porte mesure 4 cm sur la maquette. Quelle est sa hauteur réelle ?
Question 2 — Un côté de 5 cm est agrandi et devient 15 cm. Quel est le rapport d'agrandissement ?
Question 3 — Avec ce rapport 3, un côté de 4 cm devient…
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?