Niveau 4ᵉ · Cours
En 5e, tu sais déjà réduire une expression (regrouper les termes qui se ressemblent) et remplacer une lettre par un nombre. On repart de là.
Réduire : 5x + 3x = 8x (on ajoute les « x »).
Substituer : pour x = 4, l'expression 2x + 1 vaut 2 × 4 + 1 = 9.
Réduire = regrouper les termes semblables (les « x » avec les « x »).
En 4e, on découvre la distributivité : développer et factoriser.
Avant de calculer, il faut savoir lire la structure d'une expression : est-ce une somme (des termes séparés par + ou −) ou un produit (des facteurs multipliés) ?
Une SOMME est une suite de termes séparés par + ou −.
Un PRODUIT est une suite de facteurs multipliés entre eux.
Sommes : 2x − 9 ; 1 + 5x ; 3x + 11 (des termes ajoutés).
Produits : 3(x + 5) ; x(1 − x) ; (2x + 1)(3x − 4) (des facteurs multipliés).
Somme = termes séparés par + / − ; produit = facteurs multipliés.
La dernière opération que l'on ferait indique la nature : produit ou somme.
Question 1 — L'expression 2x − 9 est…
Question 2 — L'expression 3(x + 5) est…
Question 3 — Parmi ces expressions, laquelle est un produit ?
La distributivité vient d'une idée simple : pour compter des objets rangés en groupes, on peut multiplier le total, ou multiplier chaque part puis additionner. Exemple : 24 × (3 + 5) = 24 × 3 + 24 × 5.
Distributivité (avec des lettres) : k(a + b) = ka + kb.
Développer, c'est transformer un produit en somme : on « enlève les parenthèses » en multipliant le facteur devant par chaque terme.
4(x + 5) = 4 × x + 4 × 5 = 4x + 20.
5(x − 3) = 5x − 15.
3x(4 + 8x) = 12x + 24x² (le facteur peut contenir une lettre).
Développer : k(a + b) = ka + kb (on multiplie le facteur par chaque terme).
Attention aux signes, et n'oublie aucun terme de la parenthèse.
Question 1 — Développe : 2(3 + x).
Question 2 — Développe : 5(x − 3).
Question 3 — Développe : −3(−2x + 4).
Factoriser, c'est l'opération inverse de développer : on part d'une somme et on la transforme en produit, en mettant en évidence un facteur commun à tous les termes.
Distributivité (lue à l'envers) : ka + kb = k(a + b).
On cherche un facteur commun k à tous les termes, on le met devant, et on écrit entre parenthèses ce qui reste.
4x + 20 = 4 × x + 4 × 5 = 4(x + 5) (facteur commun 4).
24 − 8x = 8 × 3 − 8 × x = 8(3 − x) (facteur commun 8).
15x² + 18x = 3x × 5x + 3x × 6 = 3x(5x + 6) (facteur commun 3x).
Factoriser : ka + kb = k(a + b) (on met le facteur commun devant).
Vérifie en développant : tu dois retrouver l'expression de départ.
Question 1 — Factorise : 4x + 20.
Question 2 — Factorise : 3x − 3.
Question 3 — Factorise au maximum : 15x² + 18x.
Souvent, on développe puis on réduit : on regroupe les termes semblables pour obtenir l'écriture la plus courte.
On regroupe les termes en x² ensemble, les termes en x ensemble, et les nombres seuls ensemble.
2a + 4 − 3a + 6 − 2a + 8a − 8 = 5a + 2.
7 − 2(x − 2) = 7 − 2x + 4 = −2x + 11.
−2(−x + 3) + 2(x − 5) = 2x − 6 + 2x − 10 = 4x − 16.
Réduire : on additionne les termes de même type (x² avec x², x avec x, nombres avec nombres).
On développe d'abord les parenthèses, puis on réduit.
Question 1 — Réduis : 4x + 3x.
Question 2 — Réduis : 5x + 2 − 3x + 4.
Question 3 — Développe et réduis : 7 − 2(x − 2).
Un programme de calcul transforme un nombre de départ. Deux programmes différents peuvent donner toujours le même résultat : pour le prouver, on traduit chacun par une expression, puis on développe et on réduit.
Pour démontrer que deux expressions sont égales pour toute valeur de la lettre, on développe et réduit chacune : si on obtient la même écriture réduite, elles sont égales.
Programme A : « tripler puis ajouter 15 » → 3x + 15.
Programme B : « ajouter 5 puis multiplier par 3 » → 3(x + 5) = 3x + 15.
Même expression réduite → les deux programmes donnent toujours le même résultat.
Deux programmes sont équivalents s'ils donnent la même expression réduite.
Un exemple ne suffit pas à prouver : on développe et on réduit.
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?