Niveau 4ᵉ · Cours
Écrire 3 × 3 × 3 × 3, c'est long. Les puissances servent à raccourcir l'écriture d'un produit de facteurs tous égaux.
aⁿ (lire « a puissance n ») est le produit de n facteurs tous égaux à a :
aⁿ = a × a × a × … × a (n fois).
Ainsi 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81.
5³ = 5 × 5 × 5 = 125.
(−3)³ = (−3) × (−3) × (−3) = −27.
Cas particuliers (a non nul) :
a¹ = a et a⁰ = 1.
Exemples : 15¹ = 15 ; 153⁰ = 1.
aⁿ = a × … × a (n facteurs). a¹ = a ; a⁰ = 1.
(−a)ⁿ et −aⁿ ne donnent pas le même signe : attention aux parenthèses.
Question 1 — Combien vaut 2⁴ ?
Question 2 — Combien vaut (−2)³ ?
Question 3 — Combien vaut −2⁴ ?
Les puissances de 10 sont très pratiques : elles s'écrivent avec des zéros, ce qui aide à manipuler les très grands et les très petits nombres.
Exposant positif : 10ⁿ = 1 suivi de n zéros.
10³ = 1 000 (3 zéros) ; 10⁵ = 100 000 (5 zéros).
Exposant négatif : 10⁻ⁿ = 1/10ⁿ = 0,0…01 (le 1 est précédé de n zéros… en comptant le zéro avant la virgule).
10⁻² = 1/100 = 0,01 ; 10⁻³ = 0,001 ; 10⁻¹ = 0,1.
Avec les puissances de 10, on a des règles de calcul très simples (elles marchent aussi avec des exposants négatifs) :
10ᵐ × 10ᵖ = 10ᵐ⁺ᵖ (produit : on ADDITIONNE les exposants).
10ᵐ ÷ 10ᵖ = 10ᵐ⁻ᵖ (quotient : on SOUSTRAIT les exposants).
Exemples : 10⁴ × 10³ = 10⁷ ; 10⁸ ÷ 10⁴ = 10⁴ ; 10⁶ × 10⁻⁸ = 10⁻².
10ⁿ = 1 suivi de n zéros ; 10⁻ⁿ = 0,0…01.
Produit → on additionne les exposants ; quotient → on les soustrait.
Question 1 — Quelle est l'écriture décimale de 10⁴ ?
Question 2 — Quelle est l'écriture décimale de 10⁻² ?
Question 3 — 10⁵ × 10⁻³ est égal à…
Les préfixes (kilo, méga, milli, micro…) que tu vois sur les emballages et en sciences sont simplement des puissances de 10.
Grands : kilo (k) = 10³ ; méga (M) = 10⁶ ; giga (G) = 10⁹.
Petits : milli (m) = 10⁻³ ; micro (µ) = 10⁻⁶ ; nano (n) = 10⁻⁹.
Une clé USB de 2 Go = 2 × 10⁹ octets = 2 000 000 000 octets.
3 microlitres = 3 × 10⁻⁶ litre.
kilo 10³, méga 10⁶, giga 10⁹ ; milli 10⁻³, micro 10⁻⁶, nano 10⁻⁹.
Un préfixe se remplace par sa puissance de 10.
Pour écrire proprement des nombres géants ou minuscules (distances entre planètes, taille d'un virus), on utilise la notation scientifique.
Un nombre est en notation scientifique s'il s'écrit a × 10ⁿ, où :
• a (la mantisse) est un nombre avec UN SEUL chiffre non nul avant la virgule (donc 1 ≤ a < 10, 10 exclu) ;
• n est un entier relatif.
7,328 × 10⁵ est en notation scientifique (7,328 est bien entre 1 et 10).
Contre-exemple : 11,3 × 10⁶ ne l'est PAS (11,3 est plus grand que 10).
Contre-exemple : 0,2 × 10⁻¹ ne l'est PAS (0,2 est plus petit que 1).
Méthode pour écrire 8 300 000 en notation scientifique :
1) placer la virgule après le 1er chiffre : 8,3 ;
2) compléter par la puissance de 10 qui rétablit l'égalité : 8,3 × 10⁶.
Notation scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10.
Un seul chiffre non nul avant la virgule.
Question 1 — Lequel de ces nombres est en notation scientifique ?
Question 2 — Quelle est la notation scientifique de 52 000 ?
Question 3 — Quelle est la notation scientifique de 0,0007 ?
La notation scientifique rend les comparaisons faciles, même entre des nombres énormes ou minuscules.
Pour comparer deux nombres écrits a × 10ⁿ (avec 1 ≤ a < 10) :
1) le plus grand est celui qui a le plus GRAND exposant ;
2) si les exposants sont égaux, on compare les mantisses a.
1,5 × 10⁹ > 2,2 × 10⁸ car 9 > 8 (l'exposant décide).
2,2 × 10⁸ > 1,5 × 10⁸ car, à exposant égal, 2,2 > 1,5.
D'abord l'exposant (le plus grand gagne), puis la mantisse en cas d'égalité.
Vérifie que les nombres sont bien en notation scientifique avant de comparer.
Question 1 — Quel est le plus grand : 3,1 × 10⁷ ou 9,9 × 10⁶ ?
Question 2 — Quel est le plus petit : 5 × 10⁻² ou 5,5 × 10⁻³ ?
Question 3 — Compare 4,5 × 10⁴ et 4,2 × 10⁴.
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?