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Produit en croix et quatrième proportionnelle

Remplis le tableau et laisse vide la case cherchée : l'outil pose les produits en croix, montre la division et donne le résultat. Les quatre cases remplies, il vérifie si le tableau est proportionnel.

Ce qu'est le produit en croix

Quand deux grandeurs sont proportionnelles, on les range dans un tableau à deux lignes. Le produit en croix dit alors une chose simple : les deux diagonales donnent le même produit. Avec les cases a et c en haut, b et d en bas, cela s'écrit a × d = b × c.

Cette égalité sert à trouver une case manquante, appelée quatrième proportionnelle : trois nombres connus, un inconnu, et une seule division pour conclure. C'est le calcul le plus employé de tout le collège — recettes, vitesses, échelles, remises, conversions d'unités et probabilités passent par lui.

La même égalité sert dans l'autre sens : les quatre cases connues, comparer les deux produits démontre que le tableau est proportionnel, ou qu'il ne l'est pas.

La méthode, du tableau au résultat

1. Ranger les nombres. Une ligne par grandeur, une colonne par situation. C'est l'étape décisive : une case mal placée donne un résultat faux même avec un calcul juste. Le repère qui ne trompe pas — deux nombres de même nature ne sont jamais l'un sous l'autre.

2. Écrire l'égalité des produits en croix. On multiplie chaque diagonale et l'on pose l'égalité, en gardant x à sa place. Cette ligne vaut autant de points que la réponse.

3. Isoler l'inconnue. x est multiplié par un nombre : on divise les deux membres par ce nombre. La règle pratique : x égale le produit des deux valeurs de sa diagonale opposée, divisé par la valeur qui lui fait face.

4. Vérifier que le résultat est plausible. Plus de croissants doit coûter plus cher ; une échelle réduite doit donner une longueur plus petite. Un résultat qui va dans l'autre sens signale un tableau mal rempli.

Trois exemples entièrement résolus

Vérifier d'abord que c'est proportionnel

Le produit en croix ne vaut que dans une situation de proportionnalité : appliqué ailleurs, il produit un nombre qui n'a aucun sens. Beaucoup d'exercices testent exactement cela, et une partie des points porte sur le fait de l'avoir vérifié.

Deux repères. Le premier, mathématique : si deux colonnes sont déjà connues, leurs produits en croix doivent être égaux, ou le coefficient de passage d'une ligne à l'autre doit être le même partout. Le second, concret : doubler la première grandeur doit exactement doubler la seconde.

Les pièges classiques : un abonnement avec frais fixes, un âge (dans dix ans, chacun aura dix ans de plus, pas le double), ou une aire quand on double une longueur — elle quadruple.

Les erreurs les plus fréquentes

Mal remplir le tableau. L'erreur la plus coûteuse, et la plus discrète : le calcul se déroule normalement et donne un résultat faux. Vérifie qu'une même grandeur occupe bien une seule ligne.

Multiplier au lieu de diviser. Une fois l'égalité posée, x est multiplié par un nombre : pour l'isoler, on divise.

Sauter l'égalité des produits. Écrire directement la division prive de l'essentiel des points : c'est la ligne a × d = b × c qui montre le raisonnement.

Appliquer la méthode hors proportionnalité. Sur un abonnement avec frais fixes, elle donne un nombre parfaitement faux, sans que rien ne le signale.

Oublier les unités. 9,1 n'est pas une réponse ; 9,10 € en est une. Le contrôle de plausibilité passe par là.

Questions fréquentes

Comment savoir où placer les nombres dans le tableau ?

Une ligne par grandeur : les quantités ensemble, les prix ensemble. Deux nombres de même nature ne doivent jamais se retrouver l'un au-dessus de l'autre — c'est le signe qu'une case est mal placée.

Peut-on utiliser le coefficient de proportionnalité à la place ?

Oui, et c'est souvent plus rapide quand il tombe rond : on passe d'une ligne à l'autre en multipliant toujours par le même nombre. Le produit en croix, lui, fonctionne même avec des coefficients peu commodes.

Le produit en croix marche-t-il avec des nombres décimaux ?

Oui, sans changement : 5,20 ou 0,75 se traitent comme des entiers. Seule la division finale demande un peu d'attention, et le résultat s'arrondit selon ce que demande l'énoncé.

À quoi sert le produit en croix en dehors des exercices de prix ?

Aux échelles de plans et de cartes, aux vitesses, aux recettes de cuisine à adapter, aux conversions d'unités, aux pourcentages, et en géométrie avec le théorème de Thalès et les agrandissements.

Que faire si le résultat semble absurde ?

C'est presque toujours le tableau qui est en cause, pas le calcul. Reprends l'ordre des cases, puis vérifie le sens : plus de quantité doit donner un prix plus élevé, une réduction un prix plus bas.

En quelle classe apprend-on le produit en croix ?

La proportionnalité commence en sixième avec le coefficient et les tableaux ; le produit en croix s'installe en cinquième et en quatrième, puis sert dans presque tous les chapitres jusqu'au lycée.

Le cours qui va avec

Pour la méthode complète et les exercices corrigés :

• Cours : proportionnalité (4^e)Produit en croix, pourcentages et vitesses.
• Cours : proportionnalité (5^e)Tableaux, coefficient et quatrième proportionnelle.
• Cours : proportionnalité (6^e)Reconnaître une situation proportionnelle.

Les outils qui vont avec

• Calculer une vitesse, une distance ou une duréeLe cas de proportionnalité le plus fréquent, avec les heures en prime.
• Calculer un pourcentage ou une remiseLe cas particulier le plus courant : une proportion sur cent.
• Calculer une longueur dans un triangle rectangleL'autre grande façon de trouver une longueur manquante en géométrie.

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