Niveau 4ᵉ · Cours
En 5e, tu as appris à additionner et soustraire des nombres relatifs. On repart de là avant de découvrir la nouveauté de la 4e : les multiplier et les diviser.
−3 + 4 = 1 (on gagne plus qu'on ne perd).
−8 − 7 = −15 (on perd, puis on perd encore).
14 − (−31) = 14 + 31 = 45 (deux signes qui se suivent « − − » donnent « + »).
Additionner / soustraire, c'est comparer ce qu'on gagne et ce qu'on perd.
Ceci ne change pas en 4e : on va maintenant apprendre à MULTIPLIER et à DIVISER.
Commençons par une question simple : sans même calculer, peut-on savoir si le résultat sera positif ou négatif ? Oui, il suffit de regarder les signes.
Règle des signes (produit ou quotient de DEUX nombres) :
• deux nombres de MÊME signe → le résultat est POSITIF ;
• deux nombres de signes CONTRAIRES → le résultat est NÉGATIF.
2 × 7 = 14 (+ par + → +) ; (−2) × (−7) = 14 (− par − → +).
2 × (−7) = −14 (+ par − → −) ; (−2) × 7 = −14 (− par + → −).
Quand il y a PLUSIEURS facteurs, on compte simplement les facteurs négatifs.
Règle des signes (plusieurs facteurs) :
• un nombre PAIR de facteurs négatifs → produit POSITIF ;
• un nombre IMPAIR de facteurs négatifs → produit NÉGATIF.
(−2) × 7 × (−2) = +28 : 2 facteurs négatifs (pair) → positif.
(−2) × (−3) × (−2) = −12 : 3 facteurs négatifs (impair) → négatif.
Pour un produit ou un quotient : même signe → +, signes contraires → −.
Plusieurs facteurs : je compte les « − ». Pair → +, impair → −.
Question 1 — Quel est le signe de (−5) × (−4) ?
Question 2 — Quel est le signe de (−2) × 3 × (−1) × (−4) ?
Question 3 — Quel est le signe du quotient (−36) ÷ 9 ?
Pour multiplier deux relatifs, on procède en deux temps : d'abord le signe, ensuite le produit des nombres sans les signes (les « distances à zéro »).
Méthode pour (−4) × (−2,5) :
1) Signe : − par − → positif.
2) Nombres : 4 × 2,5 = 10.
Résultat : (−4) × (−2,5) = +10.
Un autre : (−15) × (−2,5) × (−8,3) × 7 × (−14,65).
Il y a 4 facteurs négatifs → nombre pair → le produit est positif (inutile de tout calculer pour connaître le signe).
Multiplier : je détermine le signe, PUIS je multiplie les nombres.
(−7)² est positif ; −7² est négatif : la place des parenthèses change tout.
Question 1 — Combien vaut (−6) × 4 ?
Question 2 — Combien vaut (−2,5) × (−4) ?
Question 3 — Combien vaut (−3)² ?
La division suit exactement la même règle des signes que la multiplication. On donne le résultat en valeur exacte (souvent une fraction), et parfois une valeur approchée arrondie.
Méthode pour −6 ÷ (−7) :
1) Signe : − par − → positif.
2) Quotient : 6 ÷ 7 = 6/7 (valeur exacte).
3) Valeur approchée : 6/7 ≈ 0,86 (arrondi au centième).
Un signe « − » devant une fraction peut se placer au numérateur, au dénominateur ou devant la fraction, sans en changer la valeur :
(−4)/5 = 4/(−5) = −(4/5).
Diviser : même règle des signes que multiplier.
Je donne la valeur exacte (fraction), puis un arrondi si on le demande.
Dans un calcul qui mélange plusieurs opérations, l'ordre est toujours le même : d'abord les parenthèses, puis les multiplications et divisions, et enfin les additions et soustractions.
A = 7 + 4 × (−8)
= 7 + (−32) ← on fait d'abord la multiplication
= 7 − 32 = −25.
B = 15 − (7 − 8 × 2)
= 15 − (7 − 16) ← multiplication dans la parenthèse
= 15 − (−9) = 15 + 9 = 24.
Ordre des priorités : parenthèses, puis × et ÷, puis + et −.
La règle des signes s'applique à chaque produit ou quotient rencontré.
Question 1 — Combien vaut 3 + 2 × (−5) ?
Question 2 — Combien vaut (−7 − 4) ÷ (−2) ?
Question 3 — Combien vaut −3 − (−4 + 8) × (2 − 9) ?
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