Niveau 4ᵉ · Cours
On sait élever un nombre au carré (6² = 36). La racine carrée fait le chemin inverse : elle retrouve le nombre positif dont le carré est donné.
La racine carrée de a (notée √a) est le nombre POSITIF dont le carré est a.
Exemple : 6² = 36, donc √36 = 6.
Carrés parfaits utiles : √4 = 2 ; √9 = 3 ; √16 = 4 ; √25 = 5 ; √36 = 6 ; √49 = 7 ; √64 = 8 ; √81 = 9 ; √100 = 10 ; √121 = 11 ; √144 = 12.
√a = le nombre positif dont le carré vaut a (√36 = 6 car 6² = 36).
√(nombre négatif) n'existe pas. Une racine carrée est toujours positive.
Question 1 — Combien vaut √49 ?
Question 2 — Combien vaut √144 ?
Question 3 — Le nombre √(−9) existe-t-il ?
La plupart des racines carrées ne « tombent pas juste » (√20 n'est pas un entier). On les situe alors entre deux entiers, ou on en donne une valeur approchée à la calculatrice.
Pour encadrer √a entre deux entiers, on cherche les deux carrés parfaits qui entourent a.
√20 : 16 < 20 < 25, donc √16 < √20 < √25, soit 4 < √20 < 5.
À la calculatrice : √20 ≈ 4,47 (valeur approchée au centième).
√14 ≈ 3,74 : il n'existe pas de valeur décimale exacte, on utilise la calculatrice.
Encadrer √a : trouver les deux carrés parfaits qui entourent a.
Valeur approchée : à la calculatrice, en respectant l'arrondi demandé.
Question 1 — Entre quels deux entiers consécutifs se trouve √20 ?
Question 2 — Entre quels deux entiers consécutifs se trouve √7 ?
Question 3 — Entre quels deux entiers consécutifs se trouve √50 ?
Dans un triangle rectangle, les trois côtés sont liés par une égalité célèbre. Le côté le plus long, opposé à l'angle droit, s'appelle l'hypoténuse.
Théorème de Pythagore : si le triangle ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC².
Autrement dit : (hypoténuse)² = (côté)² + (côté)².
Triangle rectangle en A, AB = 3 et AC = 4 : BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, donc BC = √25 = 5.
Calculer l'hypoténuse : on ADDITIONNE les carrés des deux côtés, puis racine carrée.
Calculer un côté de l'angle droit (hypoténuse ED = 8, côté CE = 5) :
ED² = CE² + CD² → 8² = 5² + CD² → 64 = 25 + CD² → CD² = 64 − 25 = 39, donc CD = √39 ≈ 6,2.
Triangle rectangle → (hypoténuse)² = somme des carrés des deux autres côtés.
Hypoténuse : on additionne. Autre côté : on soustrait. Puis racine carrée.
Question 1 — Triangle rectangle en A, AB = 3 et AC = 4. Combien vaut l'hypoténuse BC ?
Question 2 — Triangle rectangle, côtés de l'angle droit 6 et 8. Longueur de l'hypoténuse ?
Question 3 — Hypoténuse 13, un côté de l'angle droit 5. L'autre côté ?
Le théorème de Pythagore permet aussi de savoir, à partir des trois longueurs, si un triangle est rectangle ou non : c'est sa réciproque.
Réciproque : si, dans un triangle, (le plus grand côté)² est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.
Si l'égalité n'est PAS vérifiée, le triangle n'est pas rectangle.
Triangle de côtés 5, 12, 13. Le plus grand est 13.
13² = 169 ; 12² + 5² = 144 + 25 = 169. Égaux → le triangle est rectangle.
Triangle de côtés 7, 12, 15. Le plus grand est 15.
15² = 225 ; 12² + 7² = 144 + 49 = 193. 225 ≠ 193 → PAS rectangle.
On compare (plus grand côté)² avec (somme des carrés des deux autres).
Égaux → rectangle ; différents → pas rectangle.
Question 1 — Un triangle a pour côtés 3, 4 et 5. Est-il rectangle ?
Question 2 — Un triangle a pour côtés 7, 12 et 15. Est-il rectangle ?
Question 3 — Un triangle a pour côtés 6, 8 et 10. Est-il rectangle ?
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?