Niveau 4ᵉ · Cours
En 5e, tu sais déjà simplifier une fraction, et additionner deux fractions quand elles ont le même dénominateur (ou des dénominateurs multiples l'un de l'autre). On repart de là.
Même dénominateur : 1/4 + 2/4 = 3/4 (on ajoute les numérateurs, on garde le dénominateur).
Simplifier : 49/56 = 7/8 (on divise en haut et en bas par 7).
Même dénominateur : on ajoute (ou soustrait) les numérateurs, on garde le dénominateur.
En 4e, on apprend à le faire avec des dénominateurs QUELCONQUES, puis à multiplier et diviser.
On ne peut pas additionner deux fractions qui n'ont pas le même dénominateur. On commence donc TOUJOURS par les mettre au même dénominateur.
Méthode pour a/b + c/d :
1) trouver un dénominateur commun (souvent b × d) ;
2) écrire les deux fractions avec ce dénominateur ;
3) ajouter (ou soustraire) les numérateurs ;
4) simplifier si possible.
−2/3 + 3/4 : dénominateur commun 12.
= −8/12 + 9/12 = 1/12.
Un entier se met aussi en fraction : 7 + 2/3 = 21/3 + 2/3 = 23/3.
Pour + ou − : même dénominateur d'abord, puis on ajoute/soustrait les numérateurs.
On ne touche pas au dénominateur commun, et on simplifie le résultat.
Question 1 — Combien vaut 1/2 + 1/3 ?
Question 2 — Combien vaut 5/6 − 1/3 ?
Question 3 — Combien vaut 3 + 1/4 ?
Bonne nouvelle : pour multiplier, on n'a PAS besoin du même dénominateur. On multiplie « en ligne ».
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :
a/b × c/d = (a × c)/(b × d).
5/2 × 3/4 = (5 × 3)/(2 × 4) = 15/8.
Avec un entier : 7 × 2/3 = 7/1 × 2/3 = 14/3.
Quand c'est possible, on simplifie AVANT de multiplier : c'est plus rapide et les nombres restent petits.
15/(−8) × (−9)/15 : le 15 en haut et le 15 en bas se simplifient.
= (−9)/(−8) = 9/8 (deux facteurs négatifs → positif).
Multiplier : numérateur × numérateur, dénominateur × dénominateur.
On simplifie avant de multiplier quand c'est possible, et on applique la règle des signes.
Question 1 — Combien vaut 2/3 × 5/7 ?
Question 2 — Combien vaut 5 × 3/4 ?
Question 3 — Combien vaut (−2)/3 × 3/5 ? (simplifie le 3)
Avant de diviser, il faut connaître l'inverse d'un nombre. C'est la clé de la division des fractions.
Deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit est égal à 1.
L'inverse de la fraction a/b est b/a (on échange numérateur et dénominateur).
L'inverse de l'entier x (non nul) est 1/x.
L'inverse de 3 est 1/3, car 3 × 1/3 = 1.
L'inverse de 7/12 est 12/7, car 7/12 × 12/7 = 1.
Inverse de a/b = b/a. Inverse de x = 1/x.
Inverse ≠ opposé : l'inverse a le même signe, l'opposé change de signe.
Diviser paraît compliqué, mais il y a une astuce très simple qui ramène tout à une multiplication.
Diviser par un nombre, c'est multiplier par son inverse :
a/b ÷ c/d = a/b × d/c.
Méthode pour 3/4 ÷ 5/8 :
1) diviser par 5/8, c'est multiplier par son inverse 8/5 ;
2) 3/4 × 8/5 = 24/20 ;
3) on simplifie : 24/20 = 6/5.
Avec un entier : (−5)/6 ÷ 3 = (−5)/6 × 1/3 = −5/18.
Diviser par une fraction = multiplier par son inverse (on retourne la 2ᵉ fraction).
Ensuite, on multiplie « en ligne » et on simplifie.
Question 1 — Quel est l'inverse de 2/9 ?
Question 2 — Diviser par 3/5, c'est multiplier par…
Question 3 — Combien vaut 2/3 ÷ 5/4 ?
Quand un calcul mélange +, −, × et ÷ avec des fractions, on garde le même ordre des priorités que d'habitude.
Ordre des priorités : d'abord les parenthèses, puis × et ÷, et enfin + et −.
2/3 − 1/3 × 4/5 : la multiplication d'abord.
= 2/3 − 4/15 = 10/15 − 4/15 = 6/15 = 2/5.
2/3 × (1/2 − 1/4) : la parenthèse d'abord.
= 2/3 × 1/4 = 2/12 = 1/6.
Priorités avec les fractions : parenthèses, puis × et ÷, puis + et −.
On simplifie le résultat final en fraction irréductible.
Question 1 — Dans 1/2 + 1/3 × 1/4, quelle opération fais-tu en premier ?
Question 2 — Combien vaut 1/2 + 1/2 × 1/2 ?
Question 3 — Combien vaut (1/2 + 1/4) × 4 ?
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?