Niveau 5ᵉ · Cours
Un entier a est divisible par un entier b (avec b ≠ 0) si la division de a par b donne un résultat entier, c'est-à-dire sans reste.
On dit aussi : b est un diviseur de a, ou a est un multiple de b.
12 ÷ 3 = 4 (résultat exact, reste = 0) → 12 est divisible par 3 ✓
13 ÷ 3 = 4 reste 1 (reste ≠ 0) → 13 n'est pas divisible par 3 ✗
a est divisible par b ⟺ il existe un entier k tel que a = b × k
Exemples de diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
Pas besoin de faire la division pour savoir si un nombre est divisible ! Il suffit d'observer certains chiffres.
Le chiffre des unités est pair : 0, 2, 4, 6 ou 8
157 326 → unités = 6 (pair) ✓ | 4 531 → unités = 1 ✗
La somme des chiffres est un multiple de 3
123 → 1+2+3 = 6 = 3×2 ✓ | 124 → 1+2+4 = 7 ✗
Le chiffre des unités est 0 ou 5
345 → unités = 5 ✓ | 346 → unités = 6 ✗
La somme des chiffres est un multiple de 9
729 → 7+2+9 = 18 = 9×2 ✓ | 123 → 1+2+3 = 6 ✗
Le chiffre des unités est 0
450 → unités = 0 ✓ | 451 → unités = 1 ✗
Divisible par 2 ET par 3 simultanément
126 → pair ✓ et 1+2+6=9 multiple de 3 ✓ → divisible par 6
Astuce : divisible par 6 = divisible par 2 ET par 3.
157 326 : somme = 1+5+7+3+2+6 = 24. Divisible par 3 (24÷3=8 ✓) mais pas par 9 (24÷9 non entier ✗).
Réponds sans calculatrice !
Question 1 — 56 241 est-il divisible par 3 ?
Question 2 — 157 326 est-il divisible par 9 ?
Question 3 — 6 430 est-il divisible par 10 ?
Question 4 — Quel(s) chiffre(s) peut-on mettre à la place de □ pour que 64□ soit divisible par 3 ?
Question 5 — 126 est-il divisible par 6 ?
Un nombre premier est un entier naturel strictement supérieur à 1 qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Les diviseurs de 7 sont : 1 et 7. Seulement deux → premier ✓
Les diviseurs de 6 sont : 1, 2, 3 et 6. Quatre diviseurs → pas premier ✗
Les dix premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Un nombre qui n'est pas premier (et > 1) est dit composé.
Pour trouver tous les nombres premiers jusqu'à 50, Ératosthène (mathématicien grec, ~200 av. J.-C.) a inventé une méthode simple : le "crible".
Après le crible jusqu'à 50, on trouve 15 nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Attention aux pièges !
Question 1 — 17 est-il premier ?
Question 2 — 49 est-il premier ?
Question 3 — 1 est-il premier ?
Question 4 — 91 est-il premier ? (indice : essaie de le diviser par 7)
Tout nombre entier > 1 peut s'écrire comme un produit de nombres premiers. Cette écriture est unique (théorème fondamental de l'arithmétique).
Décomposer un nombre, c'est l'écrire sous la forme p₁ᵃ × p₂ᵇ × … où p₁, p₂, … sont des nombres premiers.
On divise par 2, puis par 3, puis par 5, puis par 7… en ordre croissant, jusqu'à obtenir 1.
On divise toujours par le plus petit nombre premier possible.
On s'arrête quand le quotient atteint 1.
Exemple rapide : 84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2² × 3 × 7
Applique la méthode des divisions successives !
Question 1 — Quelle est la décomposition de 12 en facteurs premiers ?
Question 2 — Parmi ces écritures, laquelle est la décomposition correcte de 30 ?
Question 3 — Dans 360 = 2³ × 3² × 5, combien de fois le facteur 2 apparaît-il ?
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?