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Calculer une longueur avec le théorème de Pythagore
Entre les deux longueurs connues et laisse vide celle que tu cherches : l'outil pose l'égalité, remplace les valeurs et déroule la racine carrée. Les trois longueurs remplies, il vérifie si le triangle est rectangle.
Pythagore, mais sur une vraie figure ?
Cet outil calcule une longueur quand le triangle rectangle est déjà repéré. Le plus dur est ailleurs : voir lequel des triangles d'une figure est rectangle, savoir si l'énoncé attend le théorème ou sa réciproque, et rédiger la conclusion. C'est ce que le coach Mathoo fait travailler.
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Le théorème, et ce qu'il dit exactement
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. C'est toujours le plus long des trois. Le théorème affirme que le carré de cette hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si le triangle ABC est rectangle en A : BC² = AB² + AC².
Deux conditions, toutes deux indispensables. Le triangle doit être rectangle — l'énoncé le dit, la figure le code, ou une propriété le démontre. Et l'hypoténuse doit être identifiée sans erreur : elle est seule de son côté de l'égalité.
Le repère est mécanique : l'hypoténuse est le côté qui ne touche pas l'angle droit — rectangle en A, c'est BC.
Calculer l'hypoténuse, ou calculer un côté
Le théorème sert dans les deux sens, et c'est là que se joue la différence entre addition et soustraction.
L'hypoténuse manque : on additionne
Avec les deux côtés de l'angle droit connus, on pose BC² = AB² + AC², on remplace, on additionne, on prend la racine carrée. Pour 3 et 4 : BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, donc BC = √25 = 5.
Un côté de l'angle droit manque : on soustrait
L'égalité reste la même, mais l'inconnue a changé de place. Avec une hypoténuse de 13 et un côté de 5 : 13² = 5² + x², soit 169 = 25 + x², donc x² = 169 − 25 = 144 et x = 12. Additionner ici donnerait un côté plus grand que l'hypoténuse, ce qui est impossible.
Quand la racine ne tombe pas juste
Le plus souvent, le résultat n'est pas entier. Pour 2 et 3 : BC² = 4 + 9 = 13, et BC = √13 ≈ 3,61. La valeur exacte est √13 ; l'arrondi ne s'écrit qu'avec le signe ≈, jamais avec un signe égal.
Trois exemples entièrement résolus
BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, donc BC = √100 = 10. Résultat exact : 6, 8 et 10 forment un triplet où tout tombe juste.
Une échelle de 5 m est posée à 1,5 m du pied du mur ; à quelle hauteur touche-t-elle ? L'échelle est l'hypoténuse : 5² = 1,5² + h², soit 25 = 2,25 + h². Donc h² = 22,75 et h ≈ 4,77 m.
BC² = 16 + 25 = 41. Comme 41 n'est pas un carré parfait, la réponse exacte est √41, et l'arrondi 6,4 au dixième. Écrire « BC = 6,4 » sans le signe ≈ coûte un point.
La réciproque : le triangle est-il rectangle ?
La question inverse revient tout aussi souvent : on connaît les trois longueurs et l'on doit décider si le triangle est rectangle. C'est la réciproque du théorème.
La méthode tient en trois lignes. On repère le plus grand côté, seul candidat au rôle d'hypoténuse. On calcule séparément son carré d'un côté, la somme des carrés des deux autres de l'autre. Si les deux nombres sont égaux, le triangle est rectangle ; sinon il ne l'est pas.
Pour 6, 8 et 10 : 10² = 100 et 6² + 8² = 100. Égaux, donc rectangle, l'angle droit étant opposé au côté de 10. Pour 6, 8 et 11 : 121 contre 100. Différents, donc pas rectangle.
Le piège de rédaction : écrire « 10² = 6² + 8² » dès la première ligne, c'est supposer vrai ce qu'on cherche à établir. On calcule les deux membres séparément, puis on compare.
Les erreurs les plus fréquentes
Additionner alors qu'il faut soustraire. Quand c'est un côté de l'angle droit qu'on cherche, le calcul se termine par une soustraction. Un résultat plus grand que l'hypoténuse signale l'erreur immédiatement.
Se tromper d'hypoténuse. Elle est face à l'angle droit, et c'est le plus grand côté : dans un triangle rectangle en B, c'est AC.
Oublier la racine carrée. Le calcul donne BC², pas BC. Rendre 25 au lieu de 5 est l'oubli le plus fréquent après un calcul juste.
Appliquer le théorème sans angle droit. Sans cette hypothèse, l'égalité est fausse et la démarche entière ne compte pas.
Confondre le théorème et sa réciproque. Le théorème calcule une longueur dans un triangle déjà rectangle ; la réciproque démontre qu'un triangle l'est. L'énoncé indique lequel des deux est attendu.
Questions fréquentes
Comment reconnaître l'hypoténuse à coup sûr ?
C'est le côté opposé à l'angle droit, donc celui qui ne le touche pas, et toujours le plus long. Dans un triangle rectangle en A, c'est BC : les deux sommets autres que celui de l'angle droit.
Que faire quand la racine carrée ne tombe pas juste ?
On garde la valeur exacte sous forme de racine — √13 — et on donne l'arrondi demandé avec le signe ≈. L'arrondi au dixième ou au centième dépend de la consigne, qui le précise presque toujours.
Peut-on utiliser Pythagore dans un triangle quelconque ?
Non. Sans angle droit, l'égalité est fausse. Pour un triangle quelconque, on passe par la trigonométrie ou par une hauteur qui crée deux triangles rectangles.
À quoi sert la réciproque exactement ?
À démontrer qu'un triangle est rectangle à partir de ses trois longueurs, quand le théorème calcule une longueur dans un triangle qu'on sait déjà rectangle.
Que sont les triplets pythagoriciens ?
Des trios d'entiers qui vérifient l'égalité, comme 3-4-5, 6-8-10 ou 5-12-13. Les reconnaître fait gagner du temps : le résultat tombe juste, sans arrondi.
En quelle classe apprend-on le théorème de Pythagore ?
En quatrième pour le théorème et sa réciproque, avec les racines carrées découvertes au même moment. Il resservira en troisième et en seconde.
Le cours qui va avec
Pour la méthode complète et les exercices corrigés :
Les outils qui vont avec
- Utiliser cosinus, sinus ou tangenteL'autre outil du triangle rectangle, dès qu'un angle est en jeu.
- Calculer une longueur avec ThalèsL'autre théorème de longueur du collège, souvent demandé dans le même exercice.
- Calculer une quatrième proportionnelleL'autre longueur manquante du collège : celle qu'on obtient par proportionnalité, dans un agrandissement ou avec Thalès.