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Calculer une puissance, écrire en notation scientifique
Écris 2^5 pour calculer une puissance, ou un nombre comme 34500 pour sa notation scientifique : l'outil donne les deux écritures et le détail du calcul. Les règles et les pièges suivent.
L'intérêt, c'est de calculer sans développer
Multiplier deux puissances de même base revient à additionner leurs exposants — sans jamais écrire les zéros. C'est ce qui rend la notation scientifique utile en physique, et ce que le coach Mathoo fait travailler, des règles de calcul jusqu'aux ordres de grandeur.
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Ce que compte un exposant
Une puissance est une multiplication répétée. L'exposant indique combien de fois la base est écrite dans le produit : 2⁵ signifie 2 × 2 × 2 × 2 × 2, soit 32.
La confusion la plus tenace consiste à multiplier la base par l'exposant : 2⁵ n'est pas 10. Le résultat croît beaucoup plus vite qu'une multiplication — doubler cinq fois de suite mène à 32, pas à 10.
Les deux cas particuliers
Un exposant 1 laisse le nombre inchangé : il n'est écrit qu'une fois. Un exposant 0 donne toujours 1, quelle que soit la base non nulle. Ce dernier point se démontre : diviser 2³ par 2³ donne 1 d'un côté, et 2⁰ de l'autre en soustrayant les exposants.
Les exposants négatifs et les puissances de dix
Un exposant négatif inverse
Il ne rend jamais le résultat négatif : 10⁻³ vaut 0,001 et non −1000. L'écriture a⁻ⁿ désigne 1 ÷ aⁿ, c'est-à-dire l'inverse. Retenir cette phrase épargne l'erreur la plus fréquente du chapitre.
Les puissances de dix se lisent à vue
10ⁿ s'écrit 1 suivi de n zéros : 10⁶ vaut un million. Pour un exposant négatif, on compte les rangs après la virgule : 10⁻⁶ vaut 0,000001, soit un millionième. C'est ce qui rend ces puissances si commodes pour les très grands et les très petits nombres.
Attention au signe de la base
(−2)⁴ vaut 16, car les signes moins s'annulent deux à deux ; (−2)³ vaut −8, un signe restant seul. La règle : exposant pair, résultat positif ; exposant impair, résultat du signe de la base. Et les parenthèses comptent — −2⁴ vaut −16, car seul le 2 est élevé au carré.
La notation scientifique, et à quoi elle sert
Écrire un nombre en notation scientifique, c'est le mettre sous la forme a × 10ⁿ, où a compte un seul chiffre non nul avant la virgule. Ainsi 34 500 devient 3,45 × 10⁴, et 0,00072 devient 7,2 × 10⁻⁴.
La méthode tient en deux gestes. On place la virgule juste après le premier chiffre significatif, puis on compte de combien de rangs elle s'est déplacée : ce nombre est l'exposant. Il est positif si le nombre de départ dépassait 10, négatif s'il était plus petit que 1.
L'intérêt n'est pas cosmétique. Cette écriture permet de comparer instantanément deux nombres par leur ordre de grandeur, et de multiplier sans écrire les zéros — c'est la raison pour laquelle la physique et l'astronomie ne s'en passent jamais.
Trois exemples entièrement résolus
2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. En notation scientifique : 3,2 × 10¹. Remarquer que 2⁵ n'est pas 2 × 5 = 10.
L'exposant est négatif, on inverse : 10⁻³ = 1 ÷ 10³ = 1 ÷ 1000 = 0,001. Le résultat est un petit nombre positif, jamais un nombre négatif.
Le premier chiffre non nul est 7 : la partie a vaut 7,2. La virgule a avancé de quatre rangs vers la droite, donc l'exposant vaut −4. Résultat : 7,2 × 10⁻⁴. Vérification : 7,2 divisé par 10 000 redonne bien 0,00072.
Les erreurs les plus fréquentes
Multiplier la base par l'exposant. 3⁴ vaut 81, pas 12. L'exposant compte les facteurs, il n'en est pas un.
Croire qu'un exposant négatif donne un nombre négatif. 2⁻³ vaut 0,125 : un huitième, et non moins huit.
Oublier les parenthèses autour d'une base négative. (−3)² vaut 9, tandis que −3² vaut −9 : dans le second, le carré ne porte que sur le 3.
Laisser une partie a hors de l'intervalle. 34,5 × 10³ n'est pas une notation scientifique : il faut un seul chiffre avant la virgule, donc 3,45 × 10⁴.
Se tromper de sens pour l'exposant. Un nombre plus petit que 1 donne un exposant négatif. Le contrôle est immédiat : 10⁴ doit agrandir, 10⁻⁴ doit rapetisser.
Questions fréquentes
Pourquoi tout nombre à la puissance 0 vaut-il 1 ?
Parce que diviser une puissance par elle-même donne 1, et que la règle des exposants donne au même moment a⁰. Les deux résultats devant coïncider, a⁰ vaut nécessairement 1 — pour toute base non nulle.
Comment multiplier deux puissances de même base ?
On additionne les exposants : 10³ × 10⁵ = 10⁸. Pour un quotient, on les soustrait. C'est tout l'intérêt de cette écriture : calculer sans jamais développer les zéros.
Comment repérer l'ordre de grandeur d'un nombre ?
C'est la puissance de dix de sa notation scientifique. 3,45 × 10⁴ est de l'ordre de 10⁴, soit quelques dizaines de milliers. Deux nombres se comparent d'abord par cet exposant.
Que devient la notation scientifique d'un nombre entre 1 et 10 ?
Elle ne change presque rien : 7 s'écrit 7 × 10⁰. Le nombre est déjà dans le bon intervalle, donc la virgule ne bouge pas et l'exposant est nul.
À quoi sert la notation scientifique en dehors des maths ?
À la physique, à la chimie et à l'astronomie, où l'on manipule des distances immenses et des masses infimes. Écrire 1,5 × 10¹¹ mètres est plus sûr que d'aligner onze zéros.
En quelle classe apprend-on les puissances ?
Les carrés et les cubes apparaissent en cinquième, les puissances et la notation scientifique en quatrième. La troisième y ajoute les calculs d'ordres de grandeur, très présents au brevet.
Le cours qui va avec
Pour la méthode complète et les exercices corrigés :