Niveau 3ᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : écrire le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu · choisir la bonne ligne trigonométrique · calculer une longueur · calculer la mesure d'un angle · résoudre des problèmes concrets (pente, câble, hauteur inaccessible).
En 4e, tu as découvert le cosinus dans un triangle rectangle. Petit rappel de vocabulaire : l'hypoténuse est le côté en face de l'angle droit — c'est toujours LE plus grand côté. Pour un angle aigu donné, le côté adjacent est celui qui touche cet angle (sans être l'hypoténuse), et le côté opposé est celui qui ne le touche pas.
Dans le triangle ABC rectangle en B :
• l'hypoténuse est [AC] (en face de l'angle droit B) ;
• pour l'angle  : [AB] est le côté adjacent, [BC] est le côté opposé ;
• cos(Â) = côté adjacent ÷ hypoténuse = AB ÷ AC.
cos(angle) = adjacent ÷ hypoténuse : c'est l'acquis de 4e.
Le côté opposé et le côté adjacent dépendent de l'angle choisi ; l'hypoténuse, elle, ne change jamais.
Une rampe d'accès monte vers une porte. Pour décrire sa pente, le cosinus ne suffit plus : ce qui nous intéresse, c'est la HAUTEUR gagnée — le côté opposé à l'angle ! On la compare soit à la longueur de la rampe (l'hypoténuse), soit à l'avancée horizontale (le côté adjacent). Ces deux nouveaux rapports s'appellent le sinus et la tangente.
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu :
• le sinus est le quotient du côté opposé par l'hypoténuse : sin(angle) = opposé ÷ hypoténuse ;
• la tangente est le quotient du côté opposé par le côté adjacent : tan(angle) = opposé ÷ adjacent.
Le triangle COR est rectangle en R. Pour l'angle de sommet C :
l'hypoténuse est [CO], le côté opposé est [RO], le côté adjacent est [CR].
Donc cos(RCO) = CR ÷ CO, sin(RCO) = RO ÷ CO et tan(RCO) = RO ÷ CR.
Mnémotechnique : CAH-SOH-TOA — Cosinus = Adjacent/Hypoténuse, Sinus = Opposé/Hypoténuse, Tangente = Opposé/Adjacent.
CAH-SOH-TOA : cos = adjacent ÷ hyp, sin = opposé ÷ hyp, tan = opposé ÷ adjacent.
Avant d'écrire un rapport, je repère l'angle, puis je nomme ses trois côtés : hypoténuse, adjacent, opposé.
Question 1 — Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est le quotient…
Question 2 — Le triangle RST est rectangle en S. Quel est le côté opposé à l'angle de sommet T ?
Question 3 — Laquelle de ces valeurs est IMPOSSIBLE pour le sinus d'un angle aigu ?
Avec un angle et UNE seule longueur connue, la trigonométrie permet de calculer les autres côtés du triangle rectangle. Toute la difficulté : choisir la bonne ligne parmi cos, sin et tan. La méthode qui suit marche à tous les coups.
Méthode pas à pas (le triangle LEO est rectangle en E, ELO = 62°, LO = 5,4 cm ; on cherche EL) :
1) Je repère l'angle connu : ELO, de sommet L.
2) Je nomme les côtés concernés : [LO] est l'hypoténuse, [EL] est le côté adjacent à l'angle.
3) Je choisis la ligne qui relie ces deux côtés : adjacent + hypoténuse → cosinus.
4) Je pose l'équation : cos(62°) = EL ÷ 5,4, donc EL = 5,4 × cos(62°) ≈ 2,5 cm.
Deuxième cas : la longueur cherchée est au DÉNOMINATEUR (le triangle KLM est rectangle en K, LMK = 53°, KL = 7,2 cm ; on cherche l'hypoténuse LM) :
sin(53°) = KL ÷ LM = 7,2 ÷ LM.
Cette fois, on DIVISE : LM = 7,2 ÷ sin(53°) ≈ 9 cm.
Vérification : 9 cm > 7,2 cm, l'hypoténuse est bien la plus grande. C'est cohérent !
1) Repérer l'angle · 2) nommer les côtés (connu et cherché) · 3) choisir la ligne (CAH-SOH-TOA) · 4) poser l'équation et la résoudre.
Toujours vérifier la cohérence : l'hypoténuse est le plus grand côté.
Question 1 — Le triangle LEO est rectangle en E, avec ELO = 62° et l'hypoténuse LO = 5,4 cm. Pour calculer EL (adjacent à l'angle), on écrit…
Question 2 — Le triangle KLM est rectangle en K, avec LMK = 53° et KL = 7,2 cm (côté opposé à l'angle). Combien mesure l'hypoténuse LM ?
Question 3 — La longueur cherchée est au dénominateur du rapport trigonométrique. Que fait-on ?
Deux longueurs connues suffisent pour retrouver un angle ! On calcule d'abord le rapport (cos, sin ou tan), puis on « remonte » vers l'angle grâce aux touches inverses de la calculatrice : arccos, arcsin, arctan (notées cos⁻¹, sin⁻¹, tan⁻¹, via SHIFT ou 2nde).
Méthode (le triangle FUN est rectangle en U, UF = 5,5 cm et UN = 8,2 cm ; on cherche l'angle UNF) :
1) Pour l'angle de sommet N : [UF] est le côté opposé, [UN] le côté adjacent.
2) Opposé + adjacent → tangente : tan(UNF) = 5,5 ÷ 8,2.
3) À la calculatrice : UNF = arctan(5,5 ÷ 8,2) ≈ 34°.
Et un contrôle malin :
les deux angles aigus d'un triangle rectangle somment à 90°.
Si UNF ≈ 34°, alors l'autre angle aigu UFN ≈ 90 − 34 = 56°.
Je calcule le rapport avec les deux longueurs connues, puis j'applique la touche inverse : arccos, arcsin ou arctan.
Calculatrice en mode degrés, et contrôle : les deux angles aigus somment à 90°.
Question 1 — On sait que tan(UNF) = 5,5 ÷ 8,2. Comment obtenir la mesure de l'angle UNF à la calculatrice ?
Question 2 — cos(x) = 0,54. Quelle est la mesure de l'angle aigu x, arrondie au degré ?
Question 3 — Ta calculatrice affiche arccos(0,5) = 1,047. Que se passe-t-il ?
Mesurer la hauteur d'un château d'eau sans y grimper, la largeur d'une rivière sans la traverser, l'angle d'une piste de ski… La trigonométrie sert partout où un triangle rectangle se cache : entre l'horizontale, la verticale et une ligne inclinée.
Méthode « problème concret » :
1) Je fais un SCHÉMA de la situation.
2) J'y repère un triangle rectangle (l'horizontale et la verticale sont perpendiculaires !).
3) Je place les données : l'angle connu, la longueur connue, la longueur (ou l'angle) cherchée.
4) Je choisis la ligne trigonométrique et je calcule, puis je réponds par une phrase, avec l'unité.
Exemple (extrait du Brevet) : un câble de 20 m est tendu du sommet d'un poteau vertical au sol, avec un angle de 40°.
Le câble est l'hypoténuse ; la hauteur du poteau est le côté opposé à l'angle de 40°.
Hauteur = 20 × sin(40°) ≈ 12,8 m.
Schéma → triangle rectangle → données placées → ligne trigonométrique → calcul et phrase de conclusion.
L'horizontale et la verticale forment toujours l'angle droit du triangle.
Question 1 — Un câble de 20 m est tendu entre le sommet d'un poteau vertical et le sol ; il fait un angle de 40° avec le sol. Quelle est la hauteur du poteau ?
Question 2 — Une échelle de 6 m est appuyée contre un mur ; son pied est à 2 m du mur. Quel angle fait-elle avec le sol ?
Question 3 — Face à un problème concret de trigonométrie, quelle est la PREMIÈRE étape ?
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?