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Cosinus, sinus et tangente dans un triangle rectangle
Remplis deux cases parmi l'angle et les trois côtés : l'outil choisit le bon rapport — cosinus, sinus ou tangente —, explique pourquoi, puis déroule le calcul. Le moyen mnémotechnique est juste en dessous.
Le piège n'est pas la formule, c'est la figure
Un même côté change de nom selon l'angle qu'on regarde : opposé pour l'un, adjacent pour l'autre. Savoir lequel considérer dans une figure de brevet — une rampe, un angle d'élévation, un toit — voilà ce qui rapporte les points. C'est ce que le coach Mathoo fait travailler.
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Nommer les côtés avant tout calcul
Un triangle rectangle a trois côtés, et deux d'entre eux changent de nom selon l'angle qu'on étudie. C'est le point de départ, et l'origine de la plupart des erreurs.
L'hypoténuse est la seule à ne jamais changer : elle fait face à l'angle droit et reste le plus grand côté. Le côté opposé fait face à l'angle qu'on considère ; le côté adjacent le touche, sans être l'hypoténuse.
Conséquence à retenir : dans un même triangle, le côté opposé à l'un des angles aigus est le côté adjacent de l'autre. Changer d'angle échange les deux noms. Avant d'écrire quoi que ce soit, il faut donc décider de quel angle on parle et le marquer sur la figure.
Les trois rapports, et comment choisir
La trigonométrie relie un angle à un rapport de deux longueurs. Trois rapports suffisent, et ils se retiennent par une formule : SOH-CAH-TOA.
sin = opposé / hypoténuse — le sinus met en jeu le côté opposé et l'hypoténuse.
cos = adjacent / hypoténuse — le cosinus met en jeu le côté adjacent et l'hypoténuse.
tan = opposé / adjacent — la tangente met en jeu les deux côtés de l'angle droit, sans l'hypoténuse.
La méthode de choix
On repère les deux longueurs qui interviennent — celle qu'on connaît et celle qu'on cherche — puis on prend le rapport qui contient exactement ces deux-là. Si l'hypoténuse n'est ni donnée ni demandée, c'est la tangente. Si elle apparaît avec l'opposé, c'est le sinus. Avec l'adjacent, le cosinus.
Cette méthode évite d'essayer les trois formules au hasard : le rapport se choisit avant tout calcul, en regardant seulement quels côtés sont en jeu.
Trois exemples entièrement résolus
On cherche le côté opposé, l'hypoténuse est connue : c'est le sinus. sin(30°) = opposé / 10, donc opposé = 10 × sin(30°) = 10 × 0,5 = 5. Le résultat est inférieur à l'hypoténuse, ce qui est cohérent.
Adjacent et hypoténuse sont en jeu : c'est le cosinus. cos(60°) = 4 / hypoténuse, donc hypoténuse = 4 ÷ cos(60°) = 4 ÷ 0,5 = 8. Ici l'inconnue est au dénominateur : on divise au lieu de multiplier.
Ni l'un ni l'autre n'est l'hypoténuse : c'est la tangente. tan(angle) = 3 / 4 = 0,75. On applique la touche tan⁻¹ : angle ≈ 36,87°. On arrondit selon la consigne, souvent au degré près.
Trouver un angle : la touche inverse
Quand ce sont deux longueurs qui sont connues, le calcul donne d'abord un rapport — un nombre sans unité, compris entre 0 et 1 pour le sinus et le cosinus. Il reste à remonter de ce rapport jusqu'à l'angle.
C'est le rôle des touches sin⁻¹, cos⁻¹ et tan⁻¹, parfois notées arcsin, arccos et arctan. Elles font le chemin inverse : on leur donne un rapport, elles rendent l'angle correspondant.
Une précaution indispensable : la calculatrice doit être en mode degrés, affiché DEG. En radians (RAD) ou en grades (GRAD), tous les résultats sont faux sans qu'aucun message ne le signale — et c'est la cause la plus fréquente des résultats aberrants.
Les erreurs les plus fréquentes
Confondre opposé et adjacent. Ils dépendent de l'angle choisi. Marquer l'angle sur la figure avant d'écrire la formule règle la question définitivement.
Laisser la calculatrice en radians. Un sinus de 30 en radians donne −0,988 au lieu de 0,5 : le résultat n'a plus aucun sens.
Multiplier au lieu de diviser. Quand l'inconnue est au dénominateur, comme dans cos(60°) = 4 / x, on isole x par une division.
Chercher un cosinus supérieur à 1. Impossible : le côté adjacent est toujours plus court que l'hypoténuse, donc leur rapport reste inférieur à 1. Un tel résultat signale une longueur mal placée.
Oublier la touche inverse. Si l'on cherche l'angle, taper sin au lieu de sin⁻¹ donne un nombre sans rapport avec la question.
Arrondir trop tôt. On garde les décimales de la calculatrice jusqu'au dernier calcul, et l'on n'arrondit qu'à la fin.
Questions fréquentes
Comment retenir les trois formules ?
Par SOH-CAH-TOA : Sinus = Opposé sur Hypoténuse, Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse, Tangente = Opposé sur Adjacent. Trois syllabes, trois rapports.
Comment savoir quel rapport utiliser ?
En regardant les deux longueurs en jeu — celle qu'on a, celle qu'on cherche. Le rapport à prendre est celui qui contient exactement ces deux côtés-là, et lui seul.
Pourquoi le cosinus est-il toujours inférieur à 1 ?
Parce qu'il divise un côté de l'angle droit par l'hypoténuse, qui est le plus grand des trois. Le quotient d'un nombre par un plus grand reste toujours inférieur à 1.
Quelle différence avec le théorème de Pythagore ?
Pythagore relie les trois longueurs entre elles, sans jamais parler d'angle. La trigonométrie fait intervenir un angle : c'est elle qu'il faut dès qu'un angle est donné ou demandé.
Que faire si la calculatrice affiche une erreur ?
C'est en général qu'on a demandé sin⁻¹ ou cos⁻¹ d'un nombre supérieur à 1, ce qui n'existe pas. Il faut alors vérifier quelle longueur a été prise pour l'hypoténuse.
En quelle classe apprend-on la trigonométrie ?
Le cosinus est introduit en quatrième, puis le sinus et la tangente en troisième, où les trois rapports servent à calculer aussi bien des angles que des longueurs. Ils reviennent en seconde.
Le cours qui va avec
Pour la méthode complète et les exercices corrigés :