Niveau 3ᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : donner l'opposé d'une expression et réduire · développer avec la double distributivité · développer (a + b)(a − b) d'un coup d'œil · factoriser avec un facteur commun · factoriser une différence de deux carrés.
Depuis la 4e, tu sais transformer un produit en somme, et inversement. Développer, c'est transformer un produit en somme. Factoriser, c'est le chemin inverse : transformer une somme en produit. Réduire, c'est regrouper les termes qui se ressemblent (les x² ensemble, les x ensemble, les nombres ensemble).
Distributivité simple (4e) : k(a + b) = ka + kb.
3(2x + 1) = 3 × 2x + 3 × 1 = 6x + 3.
Double distributivité (4e) : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
(x + 2)(x + 5) = x² + 5x + 2x + 10 = x² + 7x + 10.
Développer : produit → somme. Factoriser : somme → produit.
Chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second.
Tu as 50 € et tu achètes un jeu qui coûte (x + 12) € : il te reste 50 − (x + 12) euros. Le magasin encaisse le prix x ET les 12 € : tu retires les deux. Il te reste donc 50 − x − 12 = 38 − x euros. Le signe « − » devant la parenthèse agit sur CHAQUE terme.
L'opposé d'une expression est l'expression qui, ajoutée à elle, donne 0. On l'obtient en changeant le signe de CHAQUE terme.
Soustraire une expression revient à ajouter son opposé.
L'opposé de 3x − 7 est −3x + 7.
Vérification : (3x − 7) + (−3x + 7) = 3x − 3x − 7 + 7 = 0. ✓
Contre-exemple : −3x − 7 n'est PAS l'opposé de 3x − 7, car (3x − 7) + (−3x − 7) = −14, et non 0.
Méthode pour réduire B = 17x − (5x² + 9 − 4x) :
1) Je remplace − (…) par l'opposé de la parenthèse : B = 17x − 5x² − 9 + 4x.
2) Je regroupe : les x² ensemble, les x ensemble, les nombres ensemble.
Résultat : B = −5x² + 21x − 9.
Opposé = je change le signe de CHAQUE terme.
Un « − » devant une parenthèse : je l'ouvre en écrivant l'opposé de tout ce qu'elle contient.
Question 1 — Quel est l'opposé de 3x − 7 ?
Question 2 — Réduis : 5x − (2x − 4).
Question 3 — 17x − (5x² + 9 − 4x) est égal à…
Un potager rectangulaire mesure (2x + 3) mètres sur (5x + 7) mètres. Son aire est le produit (2x + 3)(5x + 7)… mais pour comparer des aires ou calculer vite, il faut savoir l'écrire SANS parenthèses. En 4e tu as appris à développer ; en 3e, on consolide : plus vite, et sans erreur de signe.
Double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second, EN GARDANT son signe.
Méthode pour développer (2x − 3)(5x + 7) :
1) 2x × 5x = 10x² et 2x × 7 = 14x.
2) −3 × 5x = −15x et −3 × 7 = −21 (le signe − voyage avec le 3).
3) Je réduis : 10x² + 14x − 15x − 21 = 10x² − x − 21.
Vérification avec x = 1 : (2 − 3)(5 + 7) = −12 et 10 − 1 − 21 = −12. ✓
4 produits, pas un de moins : ac, ad, bc, bd — chacun avec son signe.
Je réduis toujours après avoir développé, et je peux vérifier en remplaçant x par une valeur simple.
Question 1 — (x + 2)(x + 5) est égal à…
Question 2 — (2x − 3)(5x + 7) est égal à…
Question 3 — −4x(6 − 3x) est égal à…
Calcule 997 × 1 003 de tête. Impossible ? Écris plutôt (1 000 − 3)(1 000 + 3) et développe : 1 000² + 3 000 − 3 000 − 9. Les deux termes croisés s'annulent ! Il reste 1 000 000 − 9 = 999 991. Ce produit « somme par différence » a une forme développée très courte, qui mérite d'être connue par cœur.
Pour tous nombres a et b : (a + b)(a − b) = a² − b².
En développant : a² − ab + ab − b² : les termes croisés −ab et +ab s'annulent toujours.
(x + 6)(x − 6) = x² − 6² = x² − 36.
(2x − 5)(2x + 5) = (2x)² − 5² = 4x² − 25 : l'ordre des facteurs ne change rien.
Contre-exemple : (x + 6)(x + 6) ne vaut PAS x² − 36 : avec deux « + », les termes croisés ne s'annulent pas (on obtient x² + 12x + 36 par double distributivité).
(a + b)(a − b) = a² − b² : les termes croisés s'annulent.
Réflexe : repérer qui joue le rôle de a et qui joue celui de b, puis élever chacun au carré.
Question 1 — (x + 9)(x − 9) est égal à…
Question 2 — Pourquoi le développement de (a + b)(a − b) n'a-t-il pas de terme croisé ?
Question 3 — Sans calculatrice : 102 × 98 = ?
À la boulangerie, tu achètes 5 croissants à a € pièce et 5 chaussons à b € pièce. Deux façons de calculer : 5a + 5b (chaque lot séparément), ou 5(a + b) (5 fois le duo croissant-chausson). Passer de la somme 5a + 5b au produit 5(a + b), c'est factoriser : on met le facteur commun 5 « en facteur ».
Factoriser une somme, c'est l'écrire sous la forme d'un produit : k × a + k × b = k(a + b) et k × a − k × b = k(a − b).
Le facteur commun k peut être un nombre, une lettre… ou toute une parenthèse.
Facteur commun nombre ou lettre :
5a + 15b = 5 × a + 5 × 3b = 5(a + 3b).
12x² − 15x = 3x × 4x − 3x × 5 = 3x(4x − 5) : on sort le nombre 3 ET la lettre x.
Méthode quand le facteur commun est une parenthèse :
C = (2x + 5)(3x + 7) + (2x + 5)(6x + 1).
1) Je repère le facteur commun : (2x + 5).
2) Je factorise : C = (2x + 5)[(3x + 7) + (6x + 1)].
3) Je réduis l'intérieur des crochets : C = (2x + 5)(9x + 8).
Je cherche ce qui se répète dans CHAQUE terme : nombre, lettre ou parenthèse.
Après avoir factorisé, je réduis l'intérieur des crochets, en surveillant les signes.
Comment factoriser x² − 64 ? Aucun facteur commun visible… mais l'égalité (a + b)(a − b) = a² − b² se lit aussi de droite à gauche ! Dès que tu reconnais une DIFFÉRENCE de deux carrés, tu peux la transformer en produit.
Pour tous nombres a et b : a² − b² = (a + b)(a − b).
C'est la même identité que pour développer, utilisée dans l'autre sens.
Méthode pour factoriser 4x² − 49 :
1) Je reconnais deux carrés : 4x² = (2x)² et 49 = 7².
2) J'identifie : a = 2x et b = 7.
3) J'écris le produit : 4x² − 49 = (2x + 7)(2x − 7).
Vérification en développant : (2x + 7)(2x − 7) = 4x² − 49. ✓
a² − b² = (a + b)(a − b) : une différence de deux carrés se factorise en (somme)(différence).
Je vérifie toujours ma factorisation en la développant.
Question 1 — Factorise 5a + 15b.
Question 2 — Quelle est la factorisation complète de 12x² − 15x ?
Question 3 — Factorise 4x² − 49.
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?