Niveau 3ᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : construire l'image d'une figure par une rotation · construire l'image d'une figure par une homothétie de rapport positif ou négatif · reconnaître ces transformations dans les frises, pavages et rosaces · calculer des longueurs et des aires grâce aux transformations.
Depuis la 6e, tu connais déjà plusieurs transformations : la symétrie axiale (effet miroir par rapport à une droite, 6e), la symétrie centrale (demi-tour autour d'un point, 5e), la translation (glissement, 4e) et l'agrandissement-réduction de rapport k (4e). Cette année, deux nouvelles venues : la rotation et l'homothétie.
Ce que conservent les transformations déjà connues :
• symétries et translation : la figure image est superposable à la figure de départ — longueurs, angles et aires conservés ;
• agrandissement-réduction de rapport k : les longueurs sont multipliées par k, les aires par k², les volumes par k³.
Symétries et translation ne déforment jamais une figure : elles la déplacent ou la retournent, c'est tout.
Seul un agrandissement-réduction change les dimensions.
Regarde la grande aiguille d'une montre : entre 12 h 00 et 12 h 15, elle tourne d'un quart de tour (90°) autour du centre du cadran, dans le sens des aiguilles… forcément ! Un manège, une grande roue, un volant : tout ce qui tourne autour d'un point fixe illustre une rotation.
La rotation de centre O, d'angle α et de sens donné (horaire ou anti-horaire) transforme chaque point M en un point M' tel que : OM' = OM et l'angle MOM' mesure α, en tournant dans le sens indiqué.
Méthode : construire l'image M' d'un point M par la rotation de centre O, d'angle 60°, en sens anti-horaire.
1) Je trace le cercle de centre O passant par M (M' sera dessus, car OM' = OM).
2) Avec le rapporteur, je mesure un angle de 60° à partir de la demi-droite [OM), dans le sens anti-horaire.
3) Je marque M' sur le cercle : OM' = OM et l'angle MOM' vaut 60°. Pour une figure entière, je recommence sommet par sommet.
Exemple : la grande aiguille entre 12 h 00 et 12 h 15 subit une rotation de 90°, de centre le centre du cadran, en sens horaire.
Contre-exemple : un tiroir qu'on ouvre glisse sans tourner — c'est une translation, PAS une rotation (rien ne tourne autour d'un point).
Rotation = centre + angle + sens. Pour chaque point : OM' = OM et angle MOM' = α.
Cas particulier : la rotation d'angle 180° est la symétrie centrale (demi-tour).
Question 1 — Dans la rotation de centre O et d'angle 70°, quel est le seul point qui ne bouge pas ?
Question 2 — Un segment de 5 cm a pour image, par une rotation d'angle 60°, un segment de…
Question 3 — Quelle transformation décrit le mouvement de la grande aiguille d'une montre entre 12 h 00 et 12 h 15 ?
Un vidéoprojecteur agrandit l'image d'un écran de téléphone sur un mur : tout est agrandi dans les mêmes proportions, comme si l'image « rayonnait » depuis la lampe. Un zoom photo fait pareil. Cette transformation qui agrandit ou réduit une figure depuis un point s'appelle une homothétie.
L'homothétie de centre O et de rapport k (k ≠ 0) transforme chaque point M en un point M' aligné avec O et M, tel que OM' = |k| × OM. Si k > 0, M' est sur la demi-droite [OM) ; si k < 0, M' est de l'autre côté de O.
Méthode : construire l'image M' de M par l'homothétie de centre O et de rapport 3.
1) Je trace la demi-droite [OM).
2) Je reporte OM' = 3 × OM sur cette demi-droite : M' est trois fois plus loin de O que M.
3) Pour une figure entière, je recommence sommet par sommet : toutes les longueurs de la figure sont multipliées par 3.
Exemple avec un rapport négatif, k = −2 : je trace la demi-droite OPPOSÉE à [OM) et je reporte OM' = 2 × OM de ce côté-là. L'image est deux fois plus grande, de l'autre côté de O, « retournée ».
Contre-exemple : une photo étirée seulement en largeur est déformée — ce n'est PAS une homothétie (les proportions ne sont pas gardées).
Homothétie = centre + rapport. M' est aligné avec O et M, et OM' = |k| × OM.
k > 0 : même côté que M ; k < 0 : de l'autre côté de O, image « retournée ».
Question 1 — Par l'homothétie de centre O et de rapport 3, un segment de 2 cm a pour image un segment de…
Question 2 — Que fait une homothétie de rapport −2 ?
Question 3 — Par l'homothétie de centre O et de rapport 0,5, la figure image est…
Les rosaces des cathédrales, les carrelages, les frises décorées des poteries : tous ces motifs répétés cachent des transformations. Savoir dire LAQUELLE fait passer d'un motif à un autre, c'est tout l'enjeu de cette partie.
Méthode d'identification — j'observe comment le motif change :
1) Il a simplement glissé (même orientation, même taille) → translation.
2) Il a tourné autour d'un point (par exemple « la tête en bas » : demi-tour de 180°) → rotation.
3) Il est retourné comme dans un miroir → symétrie axiale.
4) Il est agrandi ou réduit depuis un point → homothétie.
L'angle d'une rosace : une rosace à n motifs réguliers autour d'un centre utilise une rotation d'angle 360° ÷ n.
Exemple des attendus : une rosace de 6 triangles rectangles obtenue à partir d'un triangle ABC par des rotations successives de centre A et d'angle 60° — car 360° ÷ 6 = 60°.
Glissé → translation ; tourné → rotation ; miroir → symétrie axiale ; agrandi/réduit depuis un point → homothétie.
Rosace à n motifs : angle de rotation = 360° ÷ n.
Question 1 — Une rosace est formée de 8 motifs identiques régulièrement répartis autour d'un centre. Quel est l'angle de la rotation qui fait passer d'un motif au suivant ?
Question 2 — Dans une frise, un motif est répété identique à lui-même, simplement décalé régulièrement vers la droite. On passe d'un motif au suivant par…
Question 3 — Dans un pavage, un motif « la tête en bas » placé entre deux motifs droits s'obtient par…
Un carré de côté 4 cm est transformé par une homothétie de rapport 3 : quel est le côté du carré image ? Et son aire ? Pas besoin de dessiner : les transformations obéissent à des règles de calcul très simples.
Méthode : calculer une grandeur après transformation.
1) J'identifie la transformation.
2) Symétrie, translation ou rotation → RIEN ne change : longueurs, angles, aires et volumes sont conservés.
3) Homothétie de rapport k → longueurs × |k|, aires × k², volumes × |k|³.
Exemple des attendus (les carrés emboîtés) : un carré ABCD de côté 4 cm est transformé par deux homothéties de centre O.
• Rapport 3 : le carré image a un côté de 4 × 3 = 12 cm et une aire de 16 × 3² = 144 cm².
• Rapport −0,5 : le carré image a un côté de 4 × 0,5 = 2 cm et une aire de 16 × (−0,5)² = 4 cm² — il est de l'autre côté de O.
Homothétie de rapport k : longueurs × |k|, aires × k², volumes × |k|³.
Symétries, translations et rotations conservent toutes les grandeurs.
Question 1 — Par une homothétie de rapport −3, les aires sont multipliées par…
Question 2 — Un triangle d'aire 12 cm² subit une rotation de 120°. Quelle est l'aire du triangle image ?
Question 3 — Par une homothétie de rapport −0,5, un segment de 8 cm a pour image un segment de…
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?