Niveau 3ᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : utiliser les notations f(x) et x ↦ · dire ce qu'est une image et un antécédent · les trouver dans un tableau, sur une courbe ou avec une formule · calculer un antécédent en résolvant une équation · modéliser une situation par une fonction.
Depuis la 4e, tu sais qu'une grandeur peut dépendre d'une autre, que ce lien s'écrit avec une formule, et qu'il se lit sur un graphique. On repart de là.
Le périmètre d'un carré dépend de son côté c : P = 4c.
Un taxi facture 3 € de prise en charge puis 2 € par km : pour n kilomètres, le prix est P = 2n + 3.
Lecture d'un graphique (acquis de 4e) :
je pars d'une valeur sur l'axe horizontal, je monte jusqu'à la courbe, je lis la valeur sur l'axe vertical ;
dans l'autre sens, je pars d'une valeur sur l'axe vertical, je vais horizontalement jusqu'à la courbe, je lis sur l'axe horizontal.
Une grandeur peut dépendre d'une autre : formule, tableau ou graphique.
En 3e, ce lien reçoit un nom et des notations : c'est une FONCTION.
Imagine une machine à nombres. Tu lui donnes un nombre, elle applique toujours le même programme de calcul et elle te rend un nombre. Programme : « multiplie le nombre par 2, puis ajoute 3 ». Tu entres 4 → elle rend 11. Tu entres 0 → elle rend 3. Tu entres 4 une deuxième fois → elle rend encore 11 : la machine ne change jamais d'avis. Cette machine est une fonction.
Une fonction est un procédé qui, à chaque nombre de départ, associe UN SEUL nombre d'arrivée.
Le nombre d'arrivée s'appelle l'image du nombre de départ ; le nombre de départ s'appelle un antécédent du nombre d'arrivée.
Avec la machine « ×2 puis +3 » : l'image de 4 est 11, et 4 est un antécédent de 11.
Un mobile roule à 5 m/s : à chaque durée x (en secondes) correspond UNE seule distance parcourue, 5x mètres. C'est bien une fonction.
Contre-exemple : une machine qui rendrait tantôt 5, tantôt 7 quand on entre 3 n'est PAS une fonction.
Le nombre 3 aurait deux images différentes : c'est interdit.
Attention : cette règle ne fonctionne que dans un sens. Un nombre a toujours une seule image, mais un nombre d'arrivée peut très bien être obtenu à partir de plusieurs nombres de départ… ou d'aucun.
Prends la fonction qui associe à un nombre son carré.
Le nombre 9 a DEUX antécédents : 3 et −3, car 3² = 9 et (−3)² = 9.
Le nombre 16 a deux antécédents : 4 et −4. Le nombre 0 n'en a qu'UN seul : 0.
Le nombre −4 n'a AUCUN antécédent : aucun nombre au carré ne donne un résultat négatif.
Fonction = à chaque nombre de départ, UNE SEULE image.
Image : le nombre d'arrivée. Antécédent : un nombre de départ qui donne cette image (il peut y en avoir 0, 1 ou plusieurs).
Question 1 — Une fonction f associe le nombre 9 au nombre 4. Combien le nombre 4 a-t-il d'images par f ?
Question 2 — On considère la fonction qui, à un nombre, associe son carré. Combien le nombre 9 a-t-il d'antécédents ?
Question 3 — Une machine rend parfois 5, parfois 7, quand on entre le nombre 3. Définit-elle une fonction ?
Pour parler d'une fonction sans la décrire en dix mots à chaque fois, on lui donne un nom : une lettre, souvent f, g ou h. On note aussi x le nombre de départ : x est la variable, car il peut prendre n'importe quelle valeur.
Notation f(x) : si f est une fonction et x un nombre, f(x) désigne l'image de x par f. On lit « f de x ».
Notation x ↦ : la flèche ↦ se lit « associe ». Écrire f : x ↦ 5x signifie « à tout nombre x, la fonction f associe 5x ».
Les deux écritures suivantes décrivent la MÊME fonction :
f : x ↦ 3x² − 7 (on lit : « à x, f associe 3x² − 7 ») ;
f(x) = 3x² − 7 (on lit : « l'image de x par f est 3x² − 7 »).
La lettre f est le nom de la fonction, x est la variable, et f(x) est un NOMBRE : l'image de x.
Une égalité comme g(3) = 15 se lit dans les deux sens : c'est une seule information, mais elle répond à deux questions différentes.
g(3) = 15 signifie :
• 15 est l'image de 3 par g (question : « que vaut g(3) ? ») ;
• 3 est un antécédent de 15 par g (question : « quel nombre a pour image 15 ? »).
Autre exemple : d(x) = 5x donne d(12) = 5 × 12 = 60, donc 60 est l'image de 12 et 12 est un antécédent de 60.
f(x) = « image de x par f » ; x ↦ … = « à x on associe … ».
g(3) = 15 : 15 est l'image de 3, et 3 est un antécédent de 15.
Question 1 — Comment lit-on l'écriture f(5) ?
Question 2 — La fonction g vérifie g(3) = 15. Que signifie cette égalité ?
Question 3 — La fonction g est définie par g : x ↦ 5x. Que vaut g(4) ?
Une même fonction peut se présenter de trois façons : un tableau de valeurs, une courbe, ou une formule. Dans les trois cas, on sait chercher une image et un antécédent — seule la technique change.
Méthode 1 — dans un TABLEAU de valeurs.
Tableau de la fonction h : x : −3 | 0 | 2 | 8 et h(x) : −125 | 7 | 12,5 | 20.
1) Image de 8 : je cherche 8 sur la ligne du HAUT, je lis en dessous → h(8) = 20.
2) Antécédent de −125 : je cherche −125 sur la ligne du BAS, je remonte → l'antécédent est −3.
Méthode 2 — sur une COURBE.
1) Image de 2 : je pars de 2 sur l'axe horizontal, je monte jusqu'à la courbe, je lis l'ordonnée. Si la courbe passe par (2 ; 6), alors f(2) = 6.
2) Antécédents de 5 : je pars de 5 sur l'axe VERTICAL, je trace une droite horizontale et je repère TOUS les points d'intersection. Si elle coupe la courbe en (1 ; 5) et (3 ; 5), les antécédents de 5 sont 1 et 3.
Une verticale ne peut couper la courbe qu'une fois (une seule image), mais une horizontale peut la couper plusieurs fois (plusieurs antécédents).
Méthode 3 — avec une FORMULE.
Fonction f définie par f(x) = 3x² − 7.
1) Image de 2 : je remplace x par 2 → f(2) = 3 × 2² − 7 = 3 × 4 − 7 = 5.
2) Image de −3 : je remplace x par −3, avec des parenthèses → f(−3) = 3 × (−3)² − 7 = 3 × 9 − 7 = 20.
L'antécédent, lui, ne se lit pas directement : il faut résoudre une équation (section suivante).
Tableau : image → je lis vers le bas ; antécédent → je remonte.
Courbe : image → je monte depuis l'axe horizontal ; antécédent → je pars de l'axe vertical et je cherche TOUS les points.
Formule : image → je remplace x par le nombre (avec des parenthèses si le nombre est négatif).
Question 1 — Tableau de la fonction h : x : −3 | 0 | 2 | 8 et h(x) : −125 | 7 | 12,5 | 20. Quelle est l'image de 8 par h ?
Question 2 — La courbe d'une fonction f passe par les points (1 ; 5) et (3 ; 5). Quels sont les antécédents de 5 par f ?
Question 3 — La fonction f est définie par f(x) = 3x² − 7. Quelle est l'image de 2 par f ?
Quand la fonction est donnée par une formule, on ne peut pas « lire » un antécédent. Mais on sait le calculer : chercher un antécédent, c'est résoudre une équation.
Chercher un antécédent du nombre k par la fonction f, c'est chercher les nombres x tels que f(x) = k : on résout l'équation f(x) = k.
Méthode — antécédent de 11 par la fonction f définie par f(x) = 2x + 5.
1) Je pose l'équation : 2x + 5 = 11.
2) Je résous : 2x = 11 − 5, donc 2x = 6, donc x = 3.
3) Je vérifie : f(3) = 2 × 3 + 5 = 6 + 5 = 11. ✅
L'antécédent de 11 par f est 3.
Exemple avec une réponse non entière — antécédent de 10 par la fonction f définie par f(x) = −3x − 4.
1) Je pose l'équation : −3x − 4 = 10.
2) J'ajoute 4 aux deux membres : −3x = 14.
3) Je divise les deux membres par −3 : x = −14/3.
4) Je vérifie : f(−14/3) = −3 × (−14/3) − 4 = 14 − 4 = 10. ✅
Une réponse « qui ne tombe pas juste » n'est pas une erreur : on la garde en fraction.
Cas d'un produit — antécédents de 0 par g définie par g(x) = (3x + 6)(x − 9).
1) Je pose l'équation : (3x + 6)(x − 9) = 0.
2) Un produit est nul quand l'un de ses facteurs est nul (chapitre Équations) : 3x + 6 = 0 ou x − 9 = 0.
3) Je résous chacune : x = −2 ou x = 9.
Le nombre 0 a donc DEUX antécédents par g : −2 et 9.
Antécédent de k par f → je résous l'équation f(x) = k, puis je vérifie.
Modéliser une situation, c'est écrire sa formule : mobile à 5 m/s → d(x) = 5x ; rectangle de périmètre 30 cm → A : x ↦ x(15 − x). On peut ensuite passer de la formule au tableau puis à la courbe.
Dans le prochain chapitre, tu étudieras des fonctions particulières : les fonctions linéaires et affines.
Question 1 — On cherche l'antécédent de 7 par la fonction f définie par f(x) = 2x − 1. Quelle équation faut-il résoudre ?
Question 2 — La fonction f est définie par f(x) = 2x + 5. Quel est l'antécédent de 11 par f ?
Question 3 — La fonction f est définie par f(x) = −3x − 4. Quel est l'antécédent de 10 par f ?
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?