Niveau 3ᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : utiliser les exposants positifs et négatifs pour simplifier l'écriture d'un produit · résoudre des problèmes avec des puissances et la notation scientifique · calculer avec des grandeurs composées (vitesse, débit, masse volumique) · convertir leurs unités.
Depuis la 4e, tu connais les puissances de 10 : 10⁴ = 10 000 (un 1 suivi de 4 zéros) et 10⁻³ = 0,001 (la virgule recule de 3 rangs). Elles servent à écrire les très grands et les très petits nombres.
Notation scientifique (rappel) : un nombre s'écrit a × 10ⁿ avec a compris entre 1 et 10 (10 exclu).
60 000 000 = 6 × 10⁷ (le volume, en m³, de la dune du Pyla).
0,000 25 = 2,5 × 10⁻⁴.
Préfixes à connaître :
• kilo = 10³, méga = 10⁶, giga = 10⁹ ;
• milli = 10⁻³, micro = 10⁻⁶, nano = 10⁻⁹.
Écriture scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10.
10ⁿ = un 1 suivi de n zéros ; 10⁻ⁿ = la virgule recule de n rangs.
Plie une feuille de papier en deux : son épaisseur double. Replie : elle double encore. Après 5 pliages, l'épaisseur a été multipliée par 2 × 2 × 2 × 2 × 2. Plutôt que d'écrire cinq facteurs, on écrit 2⁵ : les puissances servent à COMPACTER l'écriture des produits.
Pour a un nombre non nul et n un entier positif : aⁿ = a × a × … × a (n facteurs égaux à a).
L'exposant négatif désigne l'INVERSE : a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
8 × 8 × 8 × 8 × 8 = 8⁵ et 0,3 × 0,3 × 0,3 × 0,3 = 0,3⁴.
1/100 = 1/10² = 10⁻² et 1/(6 × 6 × 6 × 6 × 6) = 1/6⁵ = 6⁻⁵.
Contre-exemple : 8⁵ n'est PAS 8 × 5 = 40. 8⁵ = 8 × 8 × 8 × 8 × 8 = 32 768 !
aⁿ = produit de n facteurs égaux à a ; a⁻ⁿ = 1/aⁿ (l'inverse).
Pour simplifier un produit, je compte les facteurs identiques : ce nombre devient l'exposant.
Question 1 — Que vaut 2⁻³ ?
Question 2 — Comment s'écrit 0,3 × 0,3 × 0,3 × 0,3 avec une puissance ?
Question 3 — Que vaut −3² ?
Dans de bonnes conditions, une bactérie se divise en deux toutes les 30 minutes. Combien seront-elles au bout de 18 h ? Impossible d'écrire 2 × 2 × 2 × … trente-six fois sans se tromper : les puissances (et la notation scientifique pour lire le résultat) sont l'outil parfait.
Méthode (phénomène qui double à chaque étape) :
1) Compte le nombre d'étapes : 18 h = 36 périodes de 30 min.
2) Écris le résultat avec une puissance : la population est multipliée par 2³⁶.
3) Calcule à la calculatrice : 2³⁶ = 68 719 476 736.
4) Interprète avec la notation scientifique : ≈ 6,9 × 10¹⁰, soit environ 69 milliards de bactéries.
Méthode (très petits nombres) : la masse d'un atome de cuivre.
Un échantillon de 211 ng contient 2 × 10¹⁵ atomes.
1) Convertis : 211 ng = 211 × 10⁻⁹ g = 2,11 × 10⁻⁷ g.
2) Divise : (2,11 × 10⁻⁷) ÷ (2 × 10¹⁵) = 1,055 × 10⁻²² g.
Doublements répétés → puissance de 2 ; je compte d'abord le nombre d'étapes.
Très grands ou très petits nombres → notation scientifique a × 10ⁿ pour écrire et comparer.
Question 1 — Quelle est l'écriture scientifique de 45 800 000 ?
Question 2 — Une bactérie double toutes les heures. En partant d'une seule bactérie, combien y en a-t-il après 10 h ?
Question 3 — Que vaut (2 × 10⁵) × (3 × 10⁻²) ?
300 km/h, 2 m³/h, 7,84 g/cm³… Ces unités « à barre de fraction » cachent une division ! Une grandeur composée combine deux grandeurs : c'est le cas de la vitesse, du débit et de la masse volumique.
vitesse = distance ÷ durée (en km/h ou en m/s) ;
débit = volume ÷ durée (en m³/s ou en L/min) ;
masse volumique = masse ÷ volume (en kg/m³ ou en g/cm³).
Méthode « l'unité guide le calcul » : km/h se lit « kilomètres PAR heure », donc des km DIVISÉS par des heures.
Un TGV roule à 300 km/h. Quelle distance en 10 min ?
1) Mets la durée dans l'unité de la vitesse : 10 min = 1/6 h.
2) distance = vitesse × durée = 300 × 1/6 = 50 km.
La masse volumique du fer est 7,84 g/cm³ : chaque cm³ de fer a une masse de 7,84 g.
Masse de 10 cm³ de fer : 7,84 × 10 = 78,4 g (masse = masse volumique × volume).
Temps pour remplir une piscine de 15 m³ avec un débit de 2 m³/h : 15 ÷ 2 = 7,5 h, soit 7 h 30 min.
L'unité guide le calcul : km/h = km ÷ h ; kg/m³ = kg ÷ m³.
Je retrouve les trois formules à partir de l'unité : v = d ÷ t, débit = V ÷ t, masse volumique = m ÷ V.
Question 1 — Un robinet a un débit de 12 L/min. Quel volume d'eau coule en 5 minutes ?
Question 2 — La masse volumique du fer est 7,84 g/cm³. Quelle est la masse de 10 cm³ de fer ?
Question 3 — Une voiture parcourt 150 km en 2 h. Quelle est sa vitesse moyenne ?
En 2007, une rame TGV d'essai a battu le record du monde de vitesse : 574,8 km/h. C'est combien en mètres par seconde ? Pour convertir une unité composée, on convertit le HAUT et le BAS de la fraction, puis on recalcule le quotient.
Méthode pas à pas : convertir 574,8 km/h en m/s.
1) Écris la signification : 574,8 km parcourus en 1 h.
2) Convertis chaque unité : 574,8 km = 574 800 m et 1 h = 3 600 s.
3) Recalcule le quotient : 574 800 ÷ 3 600 ≈ 159,7 m/s.
Autres conversions utiles :
7,84 g/cm³ en kg/m³ : 7,84 g = 0,007 84 kg et 1 cm³ = 0,000 001 m³, donc 0,007 84 ÷ 0,000 001 = 7 840 kg/m³.
75 m³ en litres : 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L, donc 75 m³ = 75 000 L.
km/h → m/s : je divise par 3,6 ; m/s → km/h : je multiplie par 3,6.
1 m³ = 1 000 L et 1 g/cm³ = 1 000 kg/m³.
Question 1 — Convertis 90 km/h en m/s.
Question 2 — 1 m³, c'est combien de litres ?
Question 3 — Convertis 2 g/cm³ en kg/m³.
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?