Niveau 3ᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : calculer des effectifs, des fréquences et l'étendue d'une série · lire et construire un histogramme · calculer une probabilité pour une expérience à une ou deux épreuves (tableau, arbre) · relier les fréquences observées et la probabilité.
Depuis la 5e, tu sais calculer une moyenne : la somme des valeurs divisée par l'effectif total. Par exemple, avec les notes 8, 12 et 13 : moyenne = 33 ÷ 3 = 11.
La médiane (vue en 4e) partage la série RANGÉE en deux groupes de même effectif.
Série : 5 ; 9 ; 11 ; 14 ; 20 → la médiane est 11 (deux valeurs avant, deux valeurs après).
Vocabulaire des probabilités (4e) : une expérience aléatoire a plusieurs issues ; un événement regroupe une ou plusieurs issues.
Quand les issues sont équiprobables : P(événement) = nombre d'issues favorables ÷ nombre d'issues possibles.
Exemple : P(obtenir un 6 avec un dé équilibré) = 1/6.
Moyenne = somme des valeurs ÷ effectif total ; médiane = valeur « du milieu » de la série rangée.
Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
On a relevé la pointure de 25 personnes : cinq chaussent du 37, sept du 38, six du 40, deux du 41, quatre du 42 et une du 43. Sept personnes chaussent du 38 : c'est l'effectif de la valeur 38. Et la proportion 7/25 = 28 % ? C'est sa fréquence.
L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où elle apparaît dans la série.
La fréquence d'une valeur est le quotient : effectif de la valeur ÷ effectif total.
L'étendue d'une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série.
Méthode — fréquence des personnes chaussant au plus du 42 :
1) Effectif favorable : 5 + 7 + 6 + 2 + 4 = 24.
2) Effectif total : 25.
3) Fréquence = 24/25 = 0,96 = 96 %.
Notes d'Olivier : 11 ; 8 ; 8 ; 12 ; 10 ; 13 ; 12 ; 11 ; 12 ; 13.
Étendue = 13 − 8 = 5.
Contre-exemple : dire « l'étendue est 13 » est faux — 13 n'est que le maximum de la série, pas un écart.
Fréquence = effectif ÷ effectif total ; la somme des fréquences vaut 1 (soit 100 %).
Étendue = plus grande valeur − plus petite valeur.
Question 1 — Voici une série : 8 ; 12 ; 5 ; 20 ; 15. Quelle est son étendue ?
Question 2 — Dans une classe de 25 élèves, 10 viennent à vélo. Quelle est la fréquence des cyclistes ?
Question 3 — Températures relevées : −3 °C ; 2 °C ; 7 °C ; 12 °C. Quelle est l'étendue ?
Une enquête interroge 2 500 personnes de 18 à 38 ans. Impossible de dessiner un bâton par âge : vingt bâtons minuscules ! On regroupe les âges en classes de même largeur — [18 ; 22[, [22 ; 26[, [26 ; 30[, [30 ; 34[, [34 ; 38[ — et on dessine une barre par classe : c'est un histogramme.
Un histogramme représente une série dont les valeurs sont regroupées en classes de MÊME amplitude : une barre par classe, les barres sont JOINTIVES (elles se touchent) et la hauteur de chaque barre est l'effectif de sa classe.
Méthode — lire un histogramme :
1) Repère la classe sur l'axe horizontal : ses bornes sont aux BORDS de la barre.
2) Lis la hauteur de la barre sur l'axe vertical.
Enquête : la barre [30 ; 34[ monte à 1 100 → 1 100 personnes ont entre 30 et 34 ans.
Méthode — construire l'histogramme de l'enquête :
1) Vérifie que les classes ont la même amplitude : ici 4 ans.
2) Trace un axe horizontal gradué avec les bornes 18, 22, 26, 30, 34, 38.
3) Choisis un axe vertical adapté au plus grand effectif (1 100) : graduations de 100 en 100.
4) Dessine des barres jointives de hauteurs 100, 200, 400, 1 100 et 700.
Histogramme = classes de même amplitude + barres jointives ; hauteur = effectif de la classe.
Les bornes des classes se lisent aux bords des barres.
Question 1 — Qu'est-ce qui distingue un histogramme d'un diagramme en bâtons ?
Question 2 — Dans l'enquête auprès de 2 500 personnes, la classe [30 ; 34[ compte 1 100 personnes. Quelle est sa fréquence ?
Question 3 — Pour construire un histogramme, les classes doivent…
Un couple souhaite avoir deux enfants : quelle est la probabilité d'avoir deux garçons ? Cette expérience aléatoire comporte DEUX épreuves : la première naissance, puis la seconde. Deux outils permettent de n'oublier aucune issue : le tableau à double entrée et l'arbre.
Méthode — le tableau à double entrée (urne : 1 boule bleue, 2 violettes, deux tirages AVEC remise) :
1) Numérote les issues d'un tirage : B, V1, V2.
2) Une ligne par issue du 1er tirage, une colonne par issue du 2e : le tableau compte 3 × 3 = 9 cases équiprobables.
3) Compte les cases favorables à « deux violettes » : (V1;V1), (V1;V2), (V2;V1), (V2;V2), soit 4 cases.
4) P(deux violettes) = 4/9.
Méthode — l'arbre (les deux enfants) :
1) Premier niveau : G ou F, probabilité 1/2 chacun.
2) Second niveau : de nouveau G ou F.
3) Un chemin = une issue ; on MULTIPLIE les probabilités le long du chemin : P(GG) = 1/2 × 1/2 = 1/4.
4) Événement contraire : P(au moins une fille) = 1 − P(GG) = 3/4.
Tableau à double entrée : toutes les issues d'un coup (idéal avec remise).
Arbre : je multiplie le long d'un chemin, j'additionne les chemins favorables.
« Au moins un… » : pense à l'événement contraire !
Question 1 — Un couple veut deux enfants (garçon et fille équiprobables à chaque naissance). Quelle est la probabilité d'avoir deux garçons ?
Question 2 — Urne : 1 boule bleue et 2 violettes. Deux tirages AVEC remise. Combien de cases contient le tableau à double entrée ?
Question 3 — Et la probabilité que le couple ait au moins une fille ?
Une punaise lancée en l'air retombe sur le dos ou sur la pointe. Contrairement au dé, aucune symétrie ne permet d'affirmer que les deux positions ont la même probabilité ! Alors on expérimente : on lance, on lance encore… et on observe les fréquences.
Quand on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence d'une issue se stabilise autour d'une valeur : la probabilité de cette issue.
Un dé testé sur 10 000 lancers : fréquences 0,168 ; 0,167 ; 0,167 ; 0,169 ; 0,166 ; 0,163.
Toutes très proches de 1/6 ≈ 0,167 : ce dé semble bien équilibré.
La punaise : 620 « dos » sur 1 000 lancers → on estime P(dos) ≈ 0,62. C'est la SEULE façon d'estimer cette probabilité, faute de symétrie.
Fréquence observée sur un GRAND nombre d'essais ≈ probabilité.
Pour une expérience sans symétrie (punaise…), l'expérimentation est le seul moyen d'estimer la probabilité.
Question 1 — On lance un dé équilibré 10 000 fois. La fréquence d'apparition du 3 sera proche de…
Question 2 — Une punaise tombe 620 fois sur le dos en 1 000 lancers. La probabilité qu'elle tombe sur le dos est proche de…
Question 3 — Une pièce équilibrée donne 5 piles de suite. Au 6e lancer, la probabilité d'obtenir pile est…
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?