Rotations et homothéties : 12 exercices corrigés de 3e

Vrai ou faux ? Une rotation conserve les longueurs.

Méthode : Une rotation fait tourner la figure sans la déformer : l'image est superposable à la figure de départ.

M' est l'image du point M par la rotation de centre O et d'angle 50°. On sait que OM = 7 cm. Quelle est la longueur OM' ?

Méthode : Dans une rotation de centre O, chaque point et son image sont à la même distance du centre : OM' = OM.

Que peux-tu dire d'une rotation d'angle 180° de centre O ?

Méthode : Tourner de 180° autour de O, c'est faire un demi-tour : chaque point M a pour image le point M' tel que O est le milieu de [MM'].

Une homothétie est définie par…

Méthode : L'homothétie de centre O et de rapport k transforme M en un point M' aligné avec O et M, avec OM' = |k| × OM.

Par l'homothétie de centre O et de rapport −2, un segment de 5 cm a pour image un segment de quelle longueur ?

Méthode : Une longueur est toujours positive : elle est multipliée par |k| = 2, donc 5 × 2 = 10 cm. Le signe « − » indique seulement que l'image est de l'autre côté du centre O.

Par l'homothétie de centre O et de rapport −0,5, l'image d'une figure est…

Méthode : |−0,5| = 0,5 : les longueurs sont divisées par 2. Le rapport est négatif : l'image passe de l'autre côté du centre O, « retournée ».

Une rosace est obtenue en reproduisant un motif autour d'un point central : chaque motif est tourné du même angle par rapport au précédent. Quelle transformation fait passer d'un motif au suivant ?

Méthode : Le motif tourne autour du centre de la rosace, toujours du même angle : c'est une rotation.

Dans une frise, un motif sur deux est « la tête en bas » : chaque motif s'obtient en faisant tourner le précédent de 180° autour d'un point situé à mi-chemin entre les deux. Quelle transformation fait passer d'un motif au suivant ?

Méthode : Le motif est retourné « la tête en bas » en tournant autour d'un point : c'est un demi-tour, une rotation de 180°.

Une rosace est composée de 6 triangles rectangles identiques, obtenus à partir d'un triangle ABC par des rotations successives de centre A. Quel est l'angle de chaque rotation ?

Méthode : Les 6 triangles font le tour complet du point A : 360° ÷ 6 = 60°.

Un triangle d'aire 8 cm² a pour image un autre triangle par la rotation de centre O et d'angle 120°. Quelle est l'aire du triangle image ?

Méthode : Une rotation ne change ni les longueurs, ni les angles, ni les aires : l'image est superposable au triangle de départ.

Un carré d'aire 4 cm² est transformé par l'homothétie de centre O et de rapport 3. Quelle est l'aire du carré image ?

Méthode : Les aires sont multipliées par k² = 3² = 9 : 4 × 9 = 36 cm².

Un carré ABCD de côté 4 cm est transformé par deux homothéties de même centre O.
a. La première a pour rapport 3 : quel est le côté du grand carré image ?
b. La seconde a pour rapport −0,5 : quel est le côté du petit carré image ?

Méthode : Les longueurs sont multipliées par |k| : 4 × 3 pour la première, 4 × 0,5 pour la seconde. Une homothétie transforme un carré en carré.