Géométrie dans l'espace : 12 exercices corrigés de 3e

Calcule l'aire exacte, en fonction de π, d'une sphère de rayon 5 cm.

Méthode : A = 4 × π × rayon² = 4 × π × 5² = 4 × π × 25.

On considère une boule de rayon 9 cm.
a. Donne la valeur exacte de son volume, en fonction de π.
b. Donne la valeur arrondie au cm³.

Méthode : V = 4/3 × π × 9³ = 4/3 × π × 729. Calcule 4 × 729 ÷ 3 avant de multiplier par π.

Un silo à grain est formé d'un cylindre de révolution de rayon 4,5 m et de hauteur 10 m, surmonté d'un cône de révolution de 2,5 m de hauteur et de même rayon. Calcule le volume de ce silo, arrondi au m³.

Méthode : V(cylindre) = π × 4,5² × 10 = 202,5π et V(cône) = π × 4,5² × 2,5 ÷ 3 = 16,875π. Additionne les deux volumes avant d'arrondir.

On coupe un pavé droit par un plan parallèle à l'une de ses faces. Quelle est la nature de la section ?

Méthode : Le plan de coupe est parallèle à une face : la section est une copie exacte de cette face.

On coupe un cylindre de révolution de hauteur 12 cm par un plan parallèle à son axe. La section est un rectangle de largeur 8 cm, et la distance entre l'axe et la section est 3 cm. Quel est le rayon de la base du cylindre ?

Méthode : La demi-largeur de la section (4 cm), la distance à l'axe (3 cm) et le rayon forment un triangle rectangle : r² = 3² + 4².

Une sphère de rayon 13 cm est coupée par un plan situé à 12 cm de son centre.
a. Quelle est la nature de la section ?
b. Calcule le rayon de la section.

Méthode : Le rayon de la sphère (13 cm), la distance du centre au plan (12 cm) et le rayon de la section forment un triangle rectangle : r² = 13² − 12².

Paris a pour coordonnées géographiques (49° N ; 2° E). Que signifie « 49° N » ?

Méthode : La première coordonnée est la latitude : elle se mesure depuis l'équateur, vers le nord (N) ou vers le sud (S).

Voici les coordonnées géographiques de trois villes : Le Cap (33° S ; 18° E), Stockholm (59° N ; 18° E) et Pécs (46° N ; 18° E). Quel est leur point commun ?

Méthode : Compare les deuxièmes coordonnées : la longitude repère le méridien.

Stockholm (59° N ; 18° E) et Pécs (46° N ; 18° E) sont situées sur le même méridien. On assimile la Terre à une sphère de rayon 6 378 km.
a. Quel est l'angle au centre de la Terre qui sépare les deux villes sur ce méridien ?
b. Calcule la distance entre les deux villes le long du méridien, arrondie à la dizaine de kilomètres.

Méthode : L'angle vaut 59° − 46° = 13°. La longueur d'un arc est proportionnelle à l'angle au centre : distance = 13/360 × 2 × π × 6 378.

On triple le rayon d'une sphère. Par quel nombre son volume est-il multiplié ?

Méthode : Les longueurs sont multipliées par k = 3, donc les volumes par k³ = 3³.

L'aire d'une sphère est 154 cm². On multiplie son rayon par 2,5. Calcule la nouvelle aire de la sphère.

Méthode : Les longueurs sont multipliées par 2,5, donc les aires par 2,5² = 6,25 : calcule 154 × 6,25.

Une boule de pétanque a pour volume 189 cm³ et son rayon est le triple de celui du cochonnet.
a. Quel est le rapport de réduction qui fait passer de la boule de pétanque au cochonnet ? (Donne une écriture fractionnaire.)
b. Déduis-en le volume du cochonnet.

Méthode : Le rayon est divisé par 3 : k = 1/3. Le volume est donc multiplié par k³ = 1/27 : calcule 189 ÷ 27.