Théorème de Thalès et triangles semblables : 12 exercices corrigés de 3e

Les droites (BE) et (CD) sont sécantes en A. Les points B et C sont d'un côté de A, les points D et E sont de l'autre côté. Les droites (BC) et (DE) sont parallèles. On donne AB = 3 cm, AC = 4 cm et AD = 8 cm. Calcule AE.

Méthode : Méthode du cours : B et E sont sur la même droite, C et D aussi. On écrit AB/AE = AC/AD, soit 3/AE = 4/8 = 0,5, donc AE = (3 × 8) ÷ 4.

Les droites (VZ) et (WY) sont sécantes en X. Les points V et W sont d'un côté de X, les points Z et Y sont de l'autre côté. Les droites (VW) et (ZY) sont parallèles. On donne XV = 25 mm, XZ = 45 mm, XW = 20 mm et ZY = 27 mm.
a. Calcule XY.
b. Calcule VW.

Méthode : L'égalité de Thalès s'écrit XV/XZ = XW/XY = VW/ZY. Pour a. : 25/45 = 20/XY. Pour b. : VW/27 = 25/45.

Les droites (TI) et (ER) sont sécantes en O. Les points T et E sont d'un côté de O, les points I et R sont de l'autre côté. Les droites (TE) et (IR) sont parallèles. On donne TE = 2,4 cm, IR = 3 cm, OT = 6,4 cm et OR = 7 cm.
a. Calcule OI.
b. Calcule OE.

Méthode : Le rapport de réduction se lit sur les côtés parallèles : TE/IR = 2,4/3 = 0,8. On a donc OT/OI = 0,8 et OE/OR = 0,8.

Les droites (SN) et (TM) sont sécantes en O. Les points S et T sont d'un côté de O, les points N et M sont de l'autre côté. On donne OS = 2,7 cm, ON = 5,4 cm, OT = 1,4 cm et OM = 2,8 cm. Vrai ou faux ? Les droites (ST) et (NM) sont parallèles.

Méthode : Méthode du cours : compare les deux rapports OS/ON et OT/OM. OS/ON = 2,7/5,4 et OT/OM = 1,4/2,8.

Les droites (NQ) et (PU) sont sécantes en M. Les points N et P sont d'un côté de M, les points Q et U sont de l'autre côté. On donne MN = 8 cm, MQ = 10 cm, MP = 9 cm et MU = 12 cm. Les droites (NP) et (QU) sont-elles parallèles ? Justifie ta réponse.

Méthode : C'est la contraposée : on suppose que les droites sont parallèles, on écrit l'égalité que donnerait Thalès, et on constate qu'elle est fausse.

RST est un triangle. Le point U appartient au segment [RS]. Le point V appartient à la droite (RT) mais pas au segment [RT] : le point R est situé entre V et T. On donne RS = 4 cm, RT = 3 cm, RU = 1,2 cm et RV = 0,9 cm. Alexien a écrit sur sa copie : « RU/RS = 1,2/4 = 0,3 et RV/RT = 0,9/3 = 0,3. Comme RU/RS = RV/RT, les droites (UV) et (ST) sont parallèles. » Sa réponse est-elle juste ? Justifie.

Méthode : L'égalité des rapports ne suffit pas. Regarde de quel côté de R se trouvent les points U et V, et compare avec la position de S et de T.

Complète : deux triangles sont semblables lorsque…

Méthode : Méthode du cours : la définition des triangles semblables porte sur les ANGLES, pas sur les longueurs.

Dans le triangle RST, les trois angles mesurent 40°, 60° et 80°. Dans le triangle UVW, l'angle de sommet U mesure 60° et l'angle de sommet V mesure 80°.
a. Quelle est la mesure de l'angle de sommet W ?
b. Les triangles RST et UVW sont-ils semblables ?

Méthode : Pour a., la somme des angles d'un triangle vaut 180° : 180 − 60 − 80. Pour b., compare les trois mesures d'angles de chaque triangle.

Le triangle PQR a pour côtés PQ = 4 cm, QR = 6 cm et RP = 8 cm. Le triangle XYZ a pour côtés XY = 10 cm, YZ = 15 cm et ZX = 20 cm. Ces deux triangles sont-ils semblables ? Justifie ta réponse.

Méthode : La propriété caractéristique des triangles semblables : leurs côtés sont proportionnels. Calcule les trois rapports en associant les côtés qui se correspondent (le plus petit avec le plus petit, etc.).

Un triangle est agrandi. Un de ses côtés, qui mesurait 5 cm, mesure maintenant 12,5 cm. Quel est le coefficient d'agrandissement k ?

Méthode : Méthode du cours : le coefficient est le rapport (nouvelle longueur) ÷ (longueur de départ), soit 12,5 ÷ 5.

Extrait du Brevet. Une flèche est représentée par le segment [RE], perpendiculaire à la droite (EO). On veut en obtenir une réduction [R'E'], elle aussi perpendiculaire à (EO). Les points E, E', O sont alignés dans cet ordre et les points R, R', O sont alignés dans cet ordre. On donne RE = 8 cm, OE' = 9 cm et EE' = 15 cm.
a. Calcule la longueur OE.
b. Calcule la longueur R'E' de la flèche réduite.

Méthode : Pour a., E' est entre E et O : OE = OE' + E'E. Pour b., les droites (RE) et (R'E') sont parallèles (toutes deux perpendiculaires à (EO)) : OE'/OE = R'E'/RE, soit 9/24 = R'E'/8.

D'après le code de la route, les feux de croisement d'une voiture doivent éclairer la route sur une distance d'au moins 30 m. Les feux de la voiture de Jacques sont à 60 cm du sol. Pour régler ses phares, il gare sa voiture dans son garage, l'avant à 1,50 m du mur du fond, et il veut tracer sur ce mur un repère à la hauteur exacte où passe le faisceau lumineux. Le faisceau part du feu, à 60 cm du sol, et touche le sol à 30 m de la voiture ; le mur et la verticale passant par le feu sont parallèles. À quelle hauteur du sol Jacques doit-il tracer son repère ?

Méthode : Place-toi au point où le faisceau touche le sol : le mur est à 30 − 1,5 = 28,5 m de ce point, et la voiture à 30 m. D'après le théorème de Thalès, hauteur/0,60 = 28,5/30.