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Des exercices de 2nde sur multiples et diviseurs, avec la méthode et le corrigé détaillé. À faire en ligne ou sur une feuille, sans inscription.
Parmi les nombres 36 ; 52 ; 100 ; 150 ; 225 et 325, lesquels sont des multiples de 25 ? Réponds pour chaque nombre.
Méthode : Méthode du cours : un entier n est un multiple de 25 s'il existe un entier k tel que n = 25k. Effectue la division par 25 et regarde si le quotient est entier.
36 : non ; 52 : non ; 100 : oui (100 = 25 × 4) ; 150 : oui (150 = 25 × 6) ; 225 : oui (225 = 25 × 9) ; 325 : oui (325 = 25 × 13)
Réponds aux questions suivantes.
a. Quel est le plus grand multiple de 3 strictement inférieur à 5 681 ?
b. Quel est le plus petit multiple de 12 supérieur ou égal à 2 189 ?
Méthode : Méthode du cours : effectue la division. Pour la question a., 5 681 ÷ 3 = 1 893,66… : le plus grand multiple cherché est 3 × 1 893. Pour la question b., prends l'entier immédiatement supérieur au quotient.
a. 5 679
b. 2 196
Réponds aux questions suivantes.
a. Quel est le plus grand nombre pair, multiple de 3, inférieur à 60 ?
b. Quel est le plus petit nombre impair, multiple de 7, supérieur à 50 ?
Méthode : Méthode du cours : un nombre à la fois pair et multiple de 3 est un multiple de 6. Pour la question b., liste les multiples de 7 après 50 (56, 63, …) et garde le premier qui est impair.
a. 54
b. 63
Agatha dit à Ofelia : « J'ai plus de 400 cartes mais moins de 450 ! Que je les groupe par 2, par 3, par 4 ou par 5, c'est toujours pareil : il en reste toujours une toute seule. » Combien Agatha a-t-elle de cartes ?
Méthode : Si en groupant par 2, 3, 4 ou 5 il reste toujours une carte, c'est que le nombre de cartes DIMINUÉ DE 1 est un multiple de 2, de 3, de 4 et de 5 à la fois. Cherche les multiples communs entre 399 et 449.
421 cartes. Si on note n le nombre de cartes, alors n − 1 est un multiple de 2, de 3, de 4 et de 5, donc un multiple de 60 (le plus petit multiple commun). Les multiples de 60 compris entre 399 et 449 : seul 420 convient. Donc n = 420 + 1 = 421.
Écris chaque fraction sous forme irréductible.
a. 48/56
b. 56/63
c. 650/900
Méthode : Méthode du cours : une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun autre que 1. Cherche le plus grand diviseur commun et divise en haut et en bas (48 et 56 sont tous les deux divisibles par 8).
a. 6/7
b. 8/9
c. 13/18
Calcule et donne le résultat sous forme de fraction irréductible.
a. 4/3 − 2/3 × 5/2
b. (1 + 3/8) ÷ (3/4)
c. 4/5 × 11/6 + 1/5
Méthode : Méthode du cours : respecte les priorités (la multiplication avant l'addition). Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : ÷ 3/4 devient × 4/3.
a. −1/3
b. 11/6
c. 5/3
Papi Michel a cuisiné des cookies : les deux tiers sont aux noisettes. Tigane mange la moitié de ceux aux noisettes et seulement un quart des autres.
a. Quelle fraction de l'ensemble des cookies Tigane a-t-elle mangée ?
b. Quelle fraction reste-t-il ?
Méthode : Méthode du cours : « la moitié des deux tiers » se calcule par 1/2 × 2/3. Les cookies sans noisettes représentent 1 − 2/3 du total. Additionne ensuite les deux parts mangées.
a. 5/12
b. 7/12
Ces affirmations sont-elles vraies ou fausses ? Pour celles qui sont fausses, un seul contre-exemple suffit à le prouver.
Méthode : Méthode du cours : pour montrer qu'une propriété du type « tous les… » est fausse, il suffit d'exhiber UN seul nombre qui ne la vérifie pas : c'est un contre-exemple. Attention, une affirmation peut être vraie alors que sa réciproque est fausse.
Tous les multiples de 12 sont des multiples de 6 : vrai. Tous les multiples de 6 sont des multiples de 12 : faux (contre-exemple : 6). Tous les nombres pairs sont divisibles par 4 : faux (contre-exemple : 2). Tous les multiples de 3 sont impairs : faux (contre-exemple : 6). Si un nombre est divisible par 10, alors il est divisible par 100 : faux (contre-exemple : 10).
Démontre que la somme de deux multiples de 5 est un multiple de 5.
Méthode : Méthode du cours : nomme les deux multiples 5k et 5k' avec deux entiers différents, additionne-les, puis factorise par 5.
Soient deux multiples de 5 : il existe des entiers k et k' tels que le premier vaut 5k et le second 5k'. Leur somme vaut 5k + 5k' = 5(k + k'). Comme k + k' est un entier, la somme s'écrit 5 × (un entier) : c'est donc un multiple de 5.
Démontre que le carré d'un nombre impair est impair.
Méthode : Méthode du cours : écris l'entier impair sous la forme 2k + 1, développe son carré avec l'identité remarquable, puis factorise par 2 tout sauf le « + 1 » final.
Soit n un entier impair : il existe un entier k tel que n = 2k + 1. Alors n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1. Comme 2k² + 2k est un entier, n² s'écrit sous la forme 2 × (un entier) + 1 : n² est donc impair.
On veut savoir si un entier naturel a est un multiple d'un entier naturel b.
a. Quelle opération faut-il effectuer sur a et b ?
b. Sur quel nombre porte alors la condition à tester ?
Méthode : Méthode du cours : a est un multiple de b lorsqu'on peut partager a en paquets de b sans qu'il ne reste rien.
a. la division euclidienne de a par b
b. le reste
On veut écrire une fonction Python nommée plus_grand_multiple qui, à partir de deux entiers naturels non nuls a et b, renvoie le plus grand multiple de a inférieur ou égal à b. Complète la ligne manquante.
def plus_grand_multiple(a, b):
k = b // a
return ___
L'opérateur // donne le quotient entier de la division euclidienne.
Méthode : Méthode du cours : le quotient entier k de b par a est le nombre de fois où a « tient » dans b. Le plus grand multiple de a inférieur ou égal à b s'obtient en multipliant a par ce quotient.
a * k
Ces exercices reprennent le cours Arithmétique : multiples, diviseurs et démonstration. Les autres chapitres de 2nde sont sur cours de 2nde.
Autres exercices corrigés de 2nde : puissances et racines, identités remarquables, équations, inégalités et inéquations, généralités sur les fonctions, variations et extremums.
Énoncés adaptés des manuels Sésamath, publiés sous licence CC BY-SA, sous laquelle cette page est également diffusée.