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Des exercices de 2nde sur ensembles et intervalles, avec la méthode et le corrigé détaillé. À faire en ligne ou sur une feuille, sans inscription.
Pour chaque nombre, dis s'il appartient à l'ensemble ℚ des nombres rationnels.
Méthode : Méthode du cours : un nombre est rationnel s'il peut s'écrire comme un quotient a/b de deux entiers relatifs (b ≠ 0). Attention : π ne s'écrit sous aucune forme de fraction.
6,8 ∈ ℚ (vrai) ; 3/5 ∈ ℚ (vrai) ; √49 = 7 ∈ ℚ (vrai) ; π ∈ ℚ (faux : π est irrationnel)
Ces affirmations sur les ensembles de nombres sont-elles vraies ou fausses ?
Méthode : Méthode du cours : appuie-toi sur l'emboîtement ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Une inclusion se lit dans un seul sens : pour montrer qu'une affirmation est fausse, il suffit d'un contre-exemple.
Tout entier relatif est un rationnel : vrai. Tout décimal est un réel : vrai. Tout entier naturel est un décimal : vrai. Tout réel est un rationnel : faux (π). Tout rationnel est un décimal : faux (1/3).
On veut démontrer par l'absurde que 1/3 n'est pas un nombre décimal. On suppose donc que 1/3 est décimal : il existe alors un entier a et un entier naturel n tels que 1/3 = a/10ⁿ.
a. Écris l'égalité obtenue en multipliant les deux membres par 3 × 10ⁿ (donne l'expression égale à 10ⁿ).
b. Quel est le chiffre des unités de 10ⁿ lorsque n ⩾ 1 ?
c. Un multiple de 3 peut-il se terminer par ce chiffre et valoir 10ⁿ ? Conclus en une phrase.
Méthode : Raisonner par l'absurde, c'est supposer le contraire de ce qu'on veut montrer, puis aboutir à une contradiction. Ici, cherche quels sont les multiples de 3 et regarde si 10ⁿ peut en être un (critère de divisibilité par 3).
a. 10ⁿ = 3a
b. 0
c. Non : 10ⁿ = 3a signifie que 10ⁿ est un multiple de 3, or la somme des chiffres de 10ⁿ vaut 1, qui n'est pas divisible par 3, donc 10ⁿ n'est pas un multiple de 3. La supposition est fausse : 1/3 n'est pas décimal.
Encadre chaque racine carrée entre deux entiers consécutifs.
Méthode : Méthode du cours : encadre le nombre sous la racine par deux carrés parfaits. Pour √37 : 36 < 37 < 49, donc √36 < √37 < √49.
6 < √37 < 7 ; 8 < √78 < 9 ; 10 < √105 < 11 ; 3 < √13 < 4
On s'intéresse au nombre 34/19.
a. Donne l'entier n tel que n < 34/19 < n + 1.
b. Quelle est l'amplitude de l'encadrement 33/19 < 34/19 < 35/19 ? Donne le résultat sous forme de fraction.
c. Donne la valeur approchée par défaut de 34/19 à 10⁻² près.
Méthode : Méthode du cours : l'amplitude d'un encadrement a < x < b, c'est la différence b − a. Pour la valeur approchée par défaut à 10⁻² près, on tronque après le deuxième chiffre décimal (34/19 = 1,789…).
a. 1
b. 2/19
c. 1,78
On considère un cercle de rayon 10 m et on note p son périmètre.
a. Donne la valeur exacte de p, en fonction de π (en mètres).
b. En utilisant l'encadrement 3,1 < π < 3,2, donne la borne inférieure de l'encadrement de p obtenu.
c. Donne la borne supérieure de cet encadrement.
Méthode : Méthode du cours : le périmètre d'un cercle de rayon r vaut 2πr. Pour encadrer 20π, on multiplie l'encadrement de π par 20 : multiplier par un nombre positif ne change pas le sens des inégalités.
a. 20π
b. 62
c. 64
On donne les intervalles I = [−6 ; 8] et J = ]2 ; 100[. Ces affirmations sont-elles vraies ou fausses ?
Méthode : Méthode du cours : un crochet fermé [ inclut la borne, un crochet ouvert ] l'exclut. Un nombre est dans I ∩ J s'il est dans les DEUX intervalles, et dans I ∪ J s'il est dans AU MOINS UN des deux.
−6 ∈ I : vrai (crochet fermé). 2 ∈ J : faux (crochet ouvert). 8,1 ∈ I : faux. 5 ∈ I ∩ J : vrai. −10 ∈ I ∪ J : faux.
Détermine chaque ensemble et écris-le sous forme d'intervalle.
a. [20 ; 25[ ∩ [14 ; 21[
b. [20 ; 25[ ∪ [14 ; 21[
c. ]−1 ; +∞[ ∩ ]−∞ ; 1]
Méthode : Méthode du cours : trace les deux intervalles l'un au-dessus de l'autre sur une droite graduée. L'intersection est la zone commune, la réunion est la zone couverte par au moins un des deux.
a. [20 ; 21[
b. [14 ; 25[
c. ]−1 ; 1]
Décris par un intervalle, ou une réunion d'intervalles, l'ensemble des réels x tels que :
a. x < 1 et x > −3
b. x ⩽ −2 ou x > 1
c. x ⩾ π et x ⩽ 3
Méthode : Méthode du cours : le connecteur « et » correspond à une intersection, le connecteur « ou » à une réunion. Pour la question c., compare π et 3 : un réel peut-il être à la fois supérieur à π et inférieur à 3 ?
a. ]−3 ; 1[
b. ]−∞ ; −2] ∪ ]1 ; +∞[
c. ∅
Calcule chaque valeur absolue. On rappelle que la valeur absolue d'un réel est la distance qui sépare ce réel de 0.
a. Valeur absolue de −4
b. Valeur absolue de 3,8
c. Valeur absolue de 5 − 6
d. Valeur absolue de 24 − 10
Méthode : Méthode du cours : une distance est toujours positive. Si le nombre est positif, sa valeur absolue est le nombre lui-même ; s'il est négatif, c'est son opposé. Pense à effectuer le calcul entre les barres avant de conclure.
a. 4
b. 3,8
c. 1
d. 14
Détermine l'ensemble des réels x vérifiant chaque condition, sous forme d'intervalle.
a. |x − 10| ⩽ 1
b. |x − 2,5| ⩽ 0,2
c. |x − 3| ⩽ 5
Méthode : Méthode du cours : |x − a| ⩽ r signifie « x est à une distance d'au plus r de a ». L'ensemble des solutions est donc l'intervalle de centre a et de rayon r, c'est-à-dire [a − r ; a + r].
a. [9 ; 11]
b. [2,3 ; 2,7]
c. [−2 ; 8]
On considère l'intervalle [2 ; 6].
a. Quel est le centre de cet intervalle ?
b. Quel est son rayon ?
c. Complète l'équivalence : x ∈ [2 ; 6] ⇔ |x − 4| ⩽ ___
Méthode : Méthode du cours : le centre d'un intervalle [a ; b] est la moyenne de ses bornes, et son rayon est la moitié de sa longueur. L'intervalle s'écrit alors [centre − rayon ; centre + rayon].
a. 4
b. 2
c. 2
Ces exercices reprennent le cours Ensembles de nombres et intervalles. Les autres chapitres de 2nde sont sur cours de 2nde.
Autres exercices corrigés de 2nde : multiples et diviseurs, puissances et racines, identités remarquables, équations, inégalités et inéquations, généralités sur les fonctions.
Énoncés adaptés des manuels Sésamath, publiés sous licence CC BY-SA, sous laquelle cette page est également diffusée.