Colinéarité et déterminant : 12 exercices corrigés de 2nde

Dans un repère orthonormé, le vecteur u a pour coordonnées (2 ; −3).
a. Donne les coordonnées du vecteur 3u, sous la forme (x ; y).
b. Donne les coordonnées du vecteur −2u, sous la forme (x ; y).
c. Donne les coordonnées du vecteur 0,5u, sous la forme (x ; y).

Méthode : Méthode du cours : pour multiplier un vecteur par un réel k, on multiplie CHACUNE de ses coordonnées par k. Si k est négatif, le vecteur obtenu change de sens.

Dans chaque cas, les deux vecteurs sont colinéaires : détermine le réel k tel que v = k × u.
a. u de coordonnées (2 ; −3) et v de coordonnées (−6 ; 9)
b. u de coordonnées (4 ; 6) et v de coordonnées (6 ; 9)
c. u de coordonnées (−1 ; 5) et v de coordonnées (3 ; −15)

Méthode : Méthode du cours : compare les abscisses pour trouver k, puis VÉRIFIE avec les ordonnées. Pour la question a. : −6 = k × 2 donne k = −3, et on vérifie que 9 = −3 × (−3).

Dans un repère orthonormé, on donne le vecteur u de coordonnées (3 ; m) et le vecteur v de coordonnées (6 ; 8), où m est un nombre réel.
a. Pour quelle valeur de m les vecteurs u et v sont-ils colinéaires ?
b. Avec cette valeur de m, quel est le réel k tel que v = k × u ?

Méthode : Méthode du cours : si u et v sont colinéaires, le coefficient obtenu sur les abscisses (6 ÷ 3 = 2) doit aussi convenir sur les ordonnées : 8 = 2 × m.

Le déterminant de deux vecteurs u(x ; y) et v(x' ; y') vaut xy' − yx'. Calcule le déterminant de chaque couple de vecteurs.
a. u(2 ; 3) et v(4 ; 5)
b. u(1 ; 2) et v(3 ; 6)
c. u(−2 ; 4) et v(3 ; 1)

Méthode : Méthode du cours : le déterminant se calcule en croix : on multiplie l'abscisse du premier par l'ordonnée du second, puis on retranche le produit des deux autres. Pour la question a. : 2 × 5 − 3 × 4 = 10 − 12.

Dans un repère orthonormé, on donne A(1 ; 2), B(4 ; 3) et C(7 ; 4).
a. Donne les coordonnées du vecteur AB, sous la forme (x ; y).
b. Donne les coordonnées du vecteur AC, sous la forme (x ; y).
c. Calcule le déterminant des vecteurs AB et AC.
d. Les points A, B et C sont-ils alignés ? Réponds par oui ou par non.

Méthode : Méthode du cours : pour étudier l'alignement de trois points, on calcule le déterminant de deux vecteurs formés à partir d'un même point. Un déterminant nul signifie que les vecteurs sont colinéaires, donc que les points sont alignés.

Dans un repère orthonormé, on donne A(1 ; −5), B(−1 ; 3) et C(2 ; y), où y est un nombre réel.
a. Donne les coordonnées du vecteur AB, sous la forme (x ; y).
b. Exprime le déterminant des vecteurs AB et AC en fonction de y, sous forme réduite.
c. Pour quelle valeur de y les points A, B et C sont-ils alignés ?

Méthode : Méthode du cours : le vecteur AC a pour coordonnées (1 ; y + 5). Le déterminant vaut −2 × (y + 5) − 8 × 1 : développe, puis résous l'équation « déterminant = 0 ».

ABCD est un parallélogramme. On veut exprimer certains vecteurs en fonction des vecteurs AB et AD, qui ne sont pas colinéaires. Complète.
a. Le vecteur AC est égal à la somme de AB et de … : donne les deux lettres du second vecteur.
b. Le vecteur BC est égal au vecteur … : donne les deux lettres.
c. Le vecteur DB est égal à AB − AD, ou encore à AB + … : donne l'expression avec un signe (par exemple « −AD »).

Méthode : Méthode du cours : dans un parallélogramme ABCD, on a AB = DC et AD = BC. La diagonale AC s'obtient par la règle du parallélogramme, et DB par la relation de Chasles : DB = DA + AB.

Soit ABC un triangle. Le point M est défini par l'égalité vectorielle AM = 2 AB.
a. Le point M appartient-il à la droite (AB) ? Réponds par oui ou par non.
b. Le point B est-il le milieu du segment [AM] ? Réponds par oui ou par non.
c. Quelle est la longueur AM si AB = 3 cm ? Donne le résultat en centimètres.

Méthode : Méthode du cours : l'égalité AM = 2 AB signifie que les vecteurs AM et AB sont colinéaires : les points A, B et M sont donc alignés. Comme le coefficient vaut 2, la longueur AM est le double de AB.

Soit ABC un triangle. Les points M et N sont définis par : AM = (1/3) AB et AN = (1/3) AC.
a. Exprime le vecteur MN en fonction du vecteur BC, sous la forme « k BC ».
b. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? Réponds par oui ou par non.
c. Si BC = 12 cm, quelle est la longueur MN, en centimètres ?

Méthode : Méthode du cours : utilise la relation de Chasles MN = MA + AN = −AM + AN, puis remplace par les expressions données. Tu obtiens MN = (1/3)(AC − AB), et AC − AB = BC.

Dans un repère orthonormé, on donne A(0 ; 1), B(3 ; 2), C(4 ; 5) et D(1 ; 4).
a. Donne les coordonnées du vecteur AB, sous la forme (x ; y).
b. Donne les coordonnées du vecteur DC, sous la forme (x ; y).
c. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Réponds en un mot.

Méthode : Méthode du cours : si les vecteurs AB et DC sont égaux (mêmes coordonnées), alors ABCD est un parallélogramme.

Dans un repère orthonormé, on donne A(−2 ; 1), B(2 ; 3), C(4 ; 7) et D(0 ; 5).
a. Donne les coordonnées du vecteur AB, sous la forme (x ; y).
b. Donne les coordonnées du vecteur DC, sous la forme (x ; y).
c. Calcule la distance AB. Donne la valeur exacte sous la forme a√b.
d. Le quadrilatère ABCD est-il un losange ? Réponds par oui ou par non (on donne AD = 2√5).

Méthode : Méthode du cours : montre d'abord que ABCD est un parallélogramme (vecteurs AB et DC égaux), puis compare deux côtés consécutifs : un parallélogramme dont deux côtés consécutifs ont la même longueur est un losange.

Dans un repère orthonormé, on donne A(2 ; 1), B(6 ; 3) et C(4 ; 7).
a. Donne les coordonnées du point I, milieu de [AC], sous la forme (x ; y).
b. Le point D est le symétrique de B par rapport à I : donne ses coordonnées, sous la forme (x ; y).
c. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Réponds en un mot.

Méthode : Méthode du cours : si D est le symétrique de B par rapport à I, alors I est le milieu de [BD] : utilise la formule du milieu à l'envers. Les diagonales [AC] et [BD] ont alors le même milieu.