Probabilités et tableaux croisés : 14 exercices corrigés de 2nde

On lance un dé équilibré à six faces. Ces affirmations sont-elles vraies ou fausses ?

Méthode : Méthode du cours : dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement A vaut Card(A) ÷ Card(Ω), c'est-à-dire le nombre d'issues favorables divisé par le nombre total d'issues.

On considère un événement A de probabilité 0,3 dans une expérience aléatoire.
a. Quelle est la probabilité de l'événement contraire de A ?
b. Un événement B a pour probabilité 0,45 : quelle est la probabilité de son contraire ?
c. Un événement peut-il avoir une probabilité de 1,2 ? Réponds par oui ou par non.

Méthode : Méthode du cours : la probabilité de l'événement contraire vaut 1 − P(A). Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.

Une expérience aléatoire a quatre issues notées a, b, c et d ; on sait que P(a) = 0,2 ; P(b) = 0,35 ; P(c) = 0,15.
a. Quelle est la probabilité de l'issue d ?
b. Quelle est la probabilité de l'événement « a ou b » ?
c. Quelle est la probabilité de l'événement contraire de « a ou b » ?

Méthode : Méthode du cours : la somme des probabilités de toutes les issues vaut 1. La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des issues qui le composent.

On reprend le tableau croisé du lycée (450 élèves : filles demi-pensionnaires 180, filles externes 70, garçons demi-pensionnaires 120, garçons externes 80).
a. Quelle est la fréquence marginale des filles, en pourcentage (donne seulement le nombre) ?
b. Quelle est la fréquence marginale des demi-pensionnaires, en pourcentage, arrondie à l'unité (donne seulement le nombre) ?
c. Quelle est la fréquence des filles demi-pensionnaires dans l'ensemble du lycée, en pourcentage (donne seulement le nombre) ?

Méthode : Méthode du cours : une fréquence MARGINALE se calcule en divisant un total de ligne (ou de colonne) par l'effectif total. Ici 250 ÷ 450 pour les filles et 300 ÷ 450 pour les demi-pensionnaires.

On reprend le tableau croisé du lycée (filles demi-pensionnaires 180, filles externes 70, total filles 250 ; garçons demi-pensionnaires 120, garçons externes 80, total garçons 200).
a. Parmi les filles, quelle est la fréquence des demi-pensionnaires, en pourcentage (donne seulement le nombre) ?
b. Parmi les garçons, quelle est la fréquence des demi-pensionnaires, en pourcentage (donne seulement le nombre) ?
c. Parmi les demi-pensionnaires, quelle est la fréquence des filles, en pourcentage (donne seulement le nombre) ?

Méthode : Méthode du cours : une fréquence CONDITIONNELLE se calcule en divisant par l'effectif du sous-groupe indiqué par « parmi ». Pour la question a., on divise 180 par 250 (le total des filles) ; pour la question c., on divise 180 par 300 (le total des demi-pensionnaires).

Une enquête sur 66 salariés donne le tableau croisé suivant.
| Ouvriers | Secrétaires | Cadres | Total
Hommes | 39 | 0 | 7 | 46
Femmes | 13 | 4 | 3 | 20
Total | 52 | 4 | 10 | 66
a. Quelle est la proportion de cadres PARMI LES HOMMES, en pourcentage, arrondie au dixième (donne seulement le nombre) ?
b. Quelle est la proportion de cadres PARMI LES FEMMES, en pourcentage (donne seulement le nombre) ?
c. Ces deux proportions sont-elles très différentes ? Réponds par oui ou par non.

Méthode : Méthode du cours : attention à l'ensemble de référence. Pour la question a., on divise 7 par 46 (le total des hommes) et NON par 66. Pour la question b., on divise 3 par 20.

Dans un lycée de 450 élèves, on note F l'événement « l'élève est une fille » et D « l'élève est demi-pensionnaire ». Le tableau croisé donne : filles demi-pensionnaires 180, filles externes 70, garçons demi-pensionnaires 120, garçons externes 80. On choisit un élève au hasard.
a. Calcule P(F), sous forme décimale arrondie au centième.
b. Calcule P(F ∩ D), sous forme décimale.
c. Calcule P_F(D), sous forme décimale.

Méthode : Méthode du cours : P(F) = 250/450, P(F ∩ D) = 180/450 et P_F(D) = Card(F ∩ D)/Card(F) = 180/250. La dernière est une probabilité CONDITIONNELLE : l'ensemble de référence est réduit aux filles.

On reprend le lycée de 450 élèves (filles demi-pensionnaires 180, filles externes 70, garçons demi-pensionnaires 120, garçons externes 80), avec F « être une fille » et D « être demi-pensionnaire ».
a. Calcule P_D(F), sous forme décimale.
b. Les probabilités P_F(D) et P_D(F) sont-elles égales ? Réponds par oui ou par non.
c. Calcule P_D(F) + P_D(non F), où « non F » désigne l'événement contraire de F.

Méthode : Méthode du cours : P_D(F) = Card(F ∩ D)/Card(D) = 180/300. Compare avec P_F(D) = 0,72 : les deux probabilités conditionnelles sont différentes, c'est le phénomène d'inversion des conditionnements.

Un test de dépistage est proposé à 1 000 personnes, dont 50 sont réellement malades. Le tableau croisé des résultats est :
| Test positif | Test négatif | Total
Malades | 45 | 5 | 50
Non malades | 95 | 855 | 950
Total | 140 | 860 | 1000
On note M l'événement « être malade » et T « avoir un test positif ».
a. Calcule P_M(T), la probabilité d'avoir un test positif sachant qu'on est malade (c'est la sensibilité du test). Donne le résultat sous forme décimale.
b. Calcule P_T(M), la probabilité d'être malade sachant que le test est positif. Donne le résultat sous forme décimale, arrondie au centième.
c. Combien y a-t-il de « faux positifs », c'est-à-dire de personnes non malades dont le test est positif ?

Méthode : Méthode du cours : P_M(T) = 45/50 (on se restreint à la ligne des malades) et P_T(M) = 45/140 (on se restreint à la colonne des tests positifs). Ces deux valeurs très différentes montrent qu'un test positif ne signifie pas forcément qu'on est malade.

On représente une expérience à deux épreuves par un arbre pondéré. Ces règles sont-elles vraies ou fausses ?

Méthode : Méthode du cours : sur un arbre pondéré, on MULTIPLIE le long d'un chemin et on ADDITIONNE entre les chemins qui conduisent au même résultat.

Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. On tire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde.
a. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge au premier tirage ? Donne le résultat sous forme de fraction irréductible.
b. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ? Donne le résultat sous forme de fraction irréductible.
c. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules vertes ? Même consigne.

Méthode : Méthode du cours : comme il y a remise, les deux tirages sont indépendants et les probabilités sont les mêmes à chaque niveau de l'arbre. On multiplie le long du chemin : (3/5) × (3/5).

On reprend l'usine : 60 % des pièces viennent de la machine A (5 % de défectueuses) et 40 % de la machine B (10 % de défectueuses).
a. Quelle est la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard soit défectueuse ? Donne le résultat sous forme décimale.
b. Une pièce est défectueuse : quelle est la probabilité qu'elle vienne de la machine B ? Donne le résultat sous forme de fraction irréductible.
c. Cette dernière probabilité est-elle égale à 10 % ? Réponds par oui ou par non.

Méthode : Méthode du cours : additionne les probabilités des deux chemins menant à une pièce défectueuse (0,03 + 0,04). Pour la question b., on inverse le conditionnement : on divise la probabilité du chemin « B et défectueuse » par la probabilité d'être défectueuse : 0,04 ÷ 0,07.

La loi des grands nombres, dans sa version vulgarisée, affirme que « lorsque n est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité ». Ces affirmations sont-elles vraies ou fausses ?

Méthode : Méthode du cours : la loi des grands nombres ne dit rien sur un petit nombre d'essais. Deux séries de lancers donnent presque toujours des résultats différents : le hasard varie.

Au XVIIᵉ siècle, le chevalier de Méré s'interrogeait : en lançant quatre fois un dé, a-t-on plus d'une chance sur deux d'obtenir au moins un six ?
a. Quelle est la probabilité de NE PAS obtenir 6 à un lancer ? Donne le résultat sous forme de fraction irréductible.
b. Quelle est la probabilité de n'obtenir aucun 6 en quatre lancers ? Donne le résultat sous forme décimale arrondie au millième.
c. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un 6 en quatre lancers ? Donne le résultat sous forme décimale arrondie au millième.

Méthode : Méthode du cours : pour « au moins un », on passe par l'événement CONTRAIRE (« aucun »). La probabilité de n'obtenir aucun 6 en quatre lancers vaut (5/6)⁴, puis on retranche ce résultat à 1.