Signe d'une fonction et tableaux de signes : 12 exercices corrigés de 2nde

Pour chaque fonction affine, détermine la valeur de x qui l'annule.
a. f(x) = 2x − 9
b. g(x) = −11x − 5
c. h(x) = −3x + 4

Méthode : Méthode du cours : une fonction affine f(x) = ax + b (avec a non nul) s'annule pour x = −b/a. Il suffit de résoudre l'équation ax + b = 0.

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = 2x + 1. Indique le signe de f(x) sur chaque intervalle.

Méthode : Méthode du cours : cherche d'abord la valeur qui annule f (ici −0,5), puis utilise le signe du coefficient directeur : a = 2 > 0, donc f est négative avant, positive après.

Résous chaque inéquation en t'appuyant sur le signe d'une fonction affine, et donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
a. 2x − 5 > 0
b. −x − 6 < 0
c. −3x + 12 ⩾ 0

Méthode : Méthode du cours : cherche le zéro de la fonction affine, puis utilise le signe du coefficient directeur pour savoir de quel côté l'expression est positive. Vérifie avec une valeur test.

On considère la fonction f définie par f(x) = (6x − 5)(−2x − 7).
a. Donne la valeur qui annule le premier facteur, sous forme de fraction irréductible.
b. Donne la valeur qui annule le second facteur.
c. Combien de valeurs annulent f ?

Méthode : Méthode du cours : pour dresser le tableau de signes d'un produit, on commence par chercher les valeurs qui annulent CHAQUE facteur : ce sont elles qui délimitent les colonnes du tableau.

Résous l'inéquation (9x − 1)(4 − x) < 0. Les facteurs s'annulent en 1/9 et en 4.

Méthode : Méthode du cours : dresse le tableau de signes. Attention au facteur (4 − x), dont le coefficient directeur est NÉGATIF : il est positif avant 4 et négatif après.

On considère la fonction h définie par h(x) = (3x + 4)(−2x + 6).
a. Donne la plus petite des deux valeurs qui annulent h, sous forme de fraction irréductible.
b. Donne la plus grande.
c. Résous l'inéquation h(x) ⩽ 0 et donne l'ensemble des solutions.

Méthode : Méthode du cours : le facteur (3x + 4) est négatif puis positif, le facteur (−2x + 6) est positif puis négatif. Dresse le tableau à trois lignes : le produit est négatif aux deux extrémités.

On considère la fonction l définie par l(x) = (3x − 5)/(2x + 7).
a. Donne la valeur interdite.
b. Donne la valeur qui annule la fonction, sous forme de fraction irréductible.

Méthode : Méthode du cours : la valeur interdite annule le DÉNOMINATEUR (elle sera marquée d'une double barre dans le tableau) ; la fonction s'annule quand son NUMÉRATEUR est nul.

Résous l'inéquation (3x − 5)/(2x + 7) > 0.

Méthode : Méthode du cours : reprends le tableau de signes du quotient et retiens les intervalles où il est strictement positif. La valeur interdite est toujours exclue, donc le crochet y est ouvert.

On considère l'inéquation (3x − 4)/(x + 2) ⩽ 0.
a. Donne la valeur interdite.
b. Donne la valeur qui annule le numérateur, sous forme de fraction irréductible.
c. Donne l'ensemble des solutions de l'inéquation.

Méthode : Méthode du cours : le quotient est négatif entre les deux valeurs. Attention aux crochets : celui de la valeur interdite est TOUJOURS ouvert, celui du zéro du numérateur est fermé car l'inéquation est large.

Pour étudier le signe d'une expression, il faut d'abord la factoriser.
a. Factorise x² − 7x.
b. Donne la plus petite des deux valeurs qui annulent cette expression.
c. Donne la plus grande.

Méthode : Méthode du cours : le facteur commun est x. Une fois l'expression écrite sous forme de produit, chaque facteur donne une valeur qui l'annule.

On considère la fonction f définie par f(x) = (x + 6)² − 25.
a. Factorise f(x) à l'aide d'une identité remarquable, puis réduis chaque facteur.
b. Donne la plus petite des deux valeurs qui annulent cette fonction.
c. Donne la plus grande.

Méthode : Méthode du cours : reconnais la différence de deux carrés a² − b² avec a = x + 6 et b = 5. On obtient (x + 6 − 5)(x + 6 + 5), qu'il faut ensuite réduire.

Soit T la fonction définie sur ℝ par T(x) = x² − 6x − 7. On admet que T(x) = (x − 3)² − 16.
a. Factorise T(x) à partir de la forme fournie et réduis chaque facteur.
b. Donne la plus petite des deux valeurs qui annulent T.
c. Sur quel intervalle T(x) est-il strictement négatif ?

Méthode : Méthode du cours : la forme (x − 3)² − 16 est une différence de deux carrés avec b = 4. On obtient (x − 3 − 4)(x − 3 + 4). Le produit de deux facteurs de coefficients positifs est négatif ENTRE les deux racines.