Indépendance et répétition d'épreuves : 12 exercices corrigés de 1re

On considère deux événements A et B tels que p(A) = 0,3, p(B) = 0,5 et p(A ∩ B) = 0,2.
a. Calcule p(A) × p(B).
b. Les événements A et B sont-ils indépendants ?

Méthode : Méthode du cours « Étudier l'indépendance de deux événements » : deux événements sont indépendants si, et seulement si, p(A ∩ B) = p(A) × p(B). Il suffit donc de calculer le produit et de le comparer à l'intersection donnée.

Voici la répartition des campings d'un groupe touristique.

Type | Mer | Campagne | Total
Avec animations | 114 | 16 | 130
Sans animations | 30 | 40 | 70
Total | 144 | 56 | 200

On choisit un camping au hasard. On note M l'événement « le camping est à la mer » et A l'événement « le camping propose des animations ».
a. Calcule p(A) × p(M).
b. Calcule p(A ∩ M).
c. Les événements A et M sont-ils indépendants ?

Méthode : p(A) = 130/200 et p(M) = 144/200. L'intersection compte les campings qui vérifient les deux conditions, soit 114 sur 200. Compare ensuite le produit et l'intersection.

On considère deux événements G et H tels que p(G) = 0,7 et p(G ∩ H) = 0,42.
a. Combien doit valoir p(H) pour que G et H soient indépendants ?
b. Sous cette hypothèse, que vaut p_G(H) ?
c. Que vaut alors p_H(G) ?

Méthode : L'indépendance impose p(G ∩ H) = p(G) × p(H) : on connaît deux des trois nombres, la troisième s'obtient par division. Une fois l'indépendance acquise, p_G(H) = p(H) et p_H(G) = p(G) — c'est exactement ce que signifie « connaître l'un ne change rien à l'autre ».

E et F sont deux événements INDÉPENDANTS tels que p(E) = 0,25 et p(F) = 0,48.
a. Calcule p_E(F).
b. Calcule p(E ∩ F).
c. Calcule p_F(E).

Méthode : Méthode du cours : quand deux événements sont indépendants, conditionner ne change rien — p_E(F) = p(F) et p_F(E) = p(E) — et l'intersection est le simple produit p(E) × p(F). Aucun calcul compliqué n'est nécessaire.

Voici quatre affirmations sur l'indépendance de deux événements A et B de probabilités non nulles. Indique si chacune est vraie ou fausse.

Méthode : Ne confonds pas indépendants et incompatibles. Deux événements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble, donc p(A ∩ B) = 0 : ils sont au contraire fortement liés, puisque la réalisation de l'un interdit celle de l'autre.

Une machine produit des pièces. La probabilité qu'une pièce présente un défaut de forme est 0,04 ; celle qu'elle présente un défaut de couleur est 0,05. Ces deux défauts sont indépendants.
a. Quelle est la probabilité qu'une pièce présente les deux défauts ?
b. Quelle est la probabilité qu'une pièce ne présente aucun des deux défauts ?
c. Quelle est la probabilité qu'une pièce présente au moins un des deux défauts ?

Méthode : Pour b., les deux événements contraires sont eux aussi indépendants : on multiplie 0,96 par 0,95. Pour c., « au moins un » est l'événement contraire de « aucun » : il est bien plus rapide de passer par le contraire que d'additionner trois cas.

Anaïs tire successivement, AVEC REMISE, deux boules dans une urne contenant 25 boules indiscernables au toucher : 5 vertes et 20 orange.
a. Quelle est la probabilité de tirer une boule verte à un tirage ? Donne une fraction irréductible.
b. Combien de chemins compte l'arbre modélisant les deux tirages ?
c. Pourquoi les deux tirages sont-ils indépendants ?

Méthode : 5 boules vertes sur 25 donne une fraction à simplifier. La remise est le mot clé de la question c. : demande-toi ce que contiendrait l'urne au second tirage si l'on ne remettait pas la boule.

Voici quatre affirmations sur la répétition d'épreuves identiques et indépendantes. Indique si chacune est vraie ou fausse.

Méthode : Le mot « identiques » signifie que l'épreuve se déroule dans les mêmes conditions à chaque fois ; « indépendantes », que le résultat d'une épreuve n'influence pas les suivantes. Demande-toi ce que devient une urne dont on ne remet pas la boule tirée.

Un lièvre et une tortue font une course de 4 cases. À chaque tour, on lance un dé cubique équilibré : si le résultat est 6, le lièvre avance de 4 cases et gagne immédiatement ; sinon, la tortue avance d'une case. La tortue gagne donc si elle parcourt les 4 cases avant qu'un 6 ne sorte.
a. Combien de lancers au maximum la partie peut-elle compter ?
b. Quelle est la probabilité que la tortue gagne ? Donne une fraction puis une valeur arrondie au millième.
c. Qui a le plus de chances de gagner ?

Méthode : La tortue ne gagne que si les quatre lancers évitent le 6, ce qui est une répétition de quatre épreuves identiques et indépendantes. Le lièvre gagne dans tous les autres cas : passe par l'événement contraire plutôt que d'énumérer les chemins.

On lance deux fois de suite un dé cubique non truqué. Donne les résultats sous forme de fraction irréductible.
a. Quelle est la probabilité d'obtenir deux Six de suite ?
b. Quelle est la probabilité de n'obtenir aucun Six ?
c. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un Six ?

Méthode : Méthode du cours : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches, ici (1/6) × (1/6) puis (5/6) × (5/6). Pour c., « au moins un » est le contraire de « aucun » : on retranche à 1.

Anaïs reprend ses deux tirages avec remise dans l'urne de 5 boules vertes et 20 boules orange. Donne les résultats sous forme de fraction irréductible.
a. Quelle est la probabilité de n'obtenir aucune boule verte ?
b. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une boule verte ?
c. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement une boule verte ?

Méthode : Pour b., passe par l'événement contraire de la question a. Pour c., deux chemins conviennent : verte puis orange, ou orange puis verte. Vérification : les probabilités de « aucune », « exactement une » et « deux » doivent totaliser 1.

Dwayne et Elsa jouent à pierre-feuille-ciseaux. On admet que leurs coups sont indépendants. Dans un premier temps, chacun joue les trois coups avec la même probabilité. Donne les résultats sous forme de fraction irréductible.
a. Combien de couples de coups sont possibles ?
b. Quelle est la probabilité d'un match nul ?
c. Quelle est la probabilité que Dwayne gagne ?

Méthode : Chaque joueur a trois coups possibles : le tableau croisé ou l'arbre compte 3 × 3 = 9 issues, toutes de probabilité 1/9. Le match nul correspond aux trois cases de la diagonale ; les six autres se répartissent également entre les deux joueurs.