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Des exercices de 1re sur suites arithmétiques, avec la méthode et le corrigé détaillé. À faire en ligne ou sur une feuille, sans inscription.
Soit u la suite définie sur ℕ par u(n) = 7n − 1.
a. Calcule u(0).
b. Calcule u(1).
c. Calcule u(4).
Méthode : Méthode du cours : une suite est une fonction définie sur ℕ. Calculer u(n) pour un rang donné, c'est remplacer n par ce rang dans l'expression, exactement comme on calculait f(x) en seconde.
a. −1
b. 6
c. 27
On considère la suite v définie sur ℕ par v(n) = 3 − 2n, ainsi que la suite w définie par wₙ = n² − 2.
a. Calcule v(2).
b. Calcule w₂.
c. Calcule w₃.
Méthode : Méthode du cours : u(n) et uₙ sont DEUX ÉCRITURES du même objet, le terme de rang n. La notation fonctionnelle u(n) rappelle qu'une suite est une fonction ; la notation indicielle uₙ est plus courte. Ici il faut remplacer n par 2 ou par 3.
a. −1
b. 2
c. 7
Voici quatre affirmations sur les suites. Indique si chacune est vraie ou fausse.
Méthode : Fais attention au décalage entre le rang et la position : quand une suite démarre au rang 0, le terme u(3) est précédé de u(0), u(1) et u(2). Compte-les.
Une suite est une fonction définie sur ℕ : vrai. Les écritures u(n) et uₙ désignent le même nombre : vrai. Une suite peut être définie à partir du rang 1 plutôt que du rang 0 : vrai. Le terme de rang 3 d'une suite est toujours le troisième terme calculé : faux — si la suite commence au rang 0, u(3) est le QUATRIÈME terme.
Soit u la suite définie par u(0) = 2 et, pour tout entier naturel n, u(n + 1) − u(n) + 5 = 0.
a. Exprime u(n + 1) en fonction de u(n).
b. Calcule u(1).
c. Calcule u(3).
Méthode : Commence par isoler u(n + 1) dans l'égalité donnée : c'est une équation du premier degré où l'inconnue est u(n + 1). Une fois la relation de récurrence écrite sous la forme habituelle, calcule les termes de proche en proche.
a. u(n + 1) = u(n) − 5
b. −3
c. −13
On donne les premiers termes de trois suites. Pour chacune, dis s'il s'agit d'une suite arithmétique.
Suite a : 7 ; 11 ; 15 ; 19 ; 23 …
Suite b : 3 ; 8 ; 11 ; 16 ; 19 ; 24 …
Suite c : 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 48 …
Méthode : Méthode du cours : une suite est arithmétique si la DIFFÉRENCE entre deux termes consécutifs est constante. Calcule tous les écarts, pas seulement le premier.
La suite a est arithmétique : on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours 4, sa raison vaut donc 4. La suite b n'est pas arithmétique : les écarts successifs valent 5, 3, 5, 3, 5, ils ne sont pas constants. La suite c n'est pas arithmétique non plus : on passe d'un terme au suivant en MULTIPLIANT par 2, ce qui donne des écarts 3, 6, 12, 24 de plus en plus grands.
On donne une relation pour trois suites. Pour chacune, précise si elle est arithmétique et, si oui, donne sa raison.
Suite u : u(n + 1) − u(n) = 35
Suite v : v(n + 1) = v(n) − 4
Suite w : wₙ₊₁ = 2wₙ − 3
Méthode : Une suite est arithmétique si, et seulement si, elle s'écrit u(n + 1) = u(n) + r avec r un nombre FIXE. Réécris chaque relation sous cette forme et regarde si ce qui s'ajoute dépend ou non de n.
La suite u est arithmétique de raison 35 : la différence entre deux termes consécutifs est constante et vaut 35. La suite v est arithmétique de raison −4 : on ajoute −4 à chaque étape. La suite w n'est pas arithmétique : on multiplie le terme précédent par 2 avant de retrancher 3, si bien que la différence wₙ₊₁ − wₙ = wₙ − 3 dépend du terme précédent et n'est donc pas constante.
Soit v une suite arithmétique telle que v(5) = −23 et v(6) = −15.
a. Quelle est la raison de la suite v ?
b. Calcule v(7).
c. Calcule v(4).
Méthode : Deux termes CONSÉCUTIFS suffisent à trouver la raison : c'est leur différence, v(6) − v(5). Une fois r connue, on avance en ajoutant r et on RECULE en la retranchant.
a. 8
b. −7
c. −31
Soit u la suite arithmétique de premier terme u(0) = 15 et de raison r = 1,5.
a. Donne l'expression de u(n) en fonction de n.
b. Calcule u(10).
c. Calcule u(20).
Méthode : Méthode du cours : lorsque le premier terme est u(0), le terme de rang n vaut u(n) = u(0) + n × r. On remplace ensuite n par la valeur demandée, sans avoir besoin de calculer tous les termes intermédiaires.
a. u(n) = 15 + 1,5n
b. 30
c. 45
Soit u la suite arithmétique définie par u(0) = 5 et, pour tout entier naturel n, u(n + 1) = u(n) − 4.
a. Donne l'expression de u(n) en fonction de n.
b. Calcule u(10).
c. Calcule u(25).
Méthode : La relation de récurrence indique que l'on retranche 4 à chaque étape : la raison vaut donc −4. Applique ensuite u(n) = u(0) + n × r en faisant attention au signe.
a. u(n) = 5 − 4n
b. −35
c. −95
Soit u une suite arithmétique telle que u₁₇ = 24 et u₄₀ = 70.
a. Quelle est la raison de la suite u ?
b. Quel est son premier terme u₀ ?
c. Calcule u₈.
Méthode : Le nombre d'étapes entre les rangs 17 et 40 vaut 40 − 17 = 23. La raison est donc (70 − 24) ÷ 23. Pour u₀, recule de 17 étapes depuis u₁₇.
a. 2
b. −10
c. 6
Détermine le sens de variation de chacune des trois suites suivantes.
Suite u : arithmétique de premier terme u(0) = 3 et de raison −7.
Suite v : v(n + 1) = v(n) + 8 pour tout entier naturel n.
Suite w : chaque terme est obtenu en soustrayant 4 au précédent.
Méthode : Méthode du cours : le sens de variation d'une suite arithmétique est donné par le SIGNE de sa raison, et par lui seul. Si r > 0 la suite est croissante, si r < 0 elle est décroissante. Le premier terme n'intervient pas.
La suite u est décroissante, car sa raison −7 est négative. La suite v est croissante, car sa raison 8 est positive. La suite w est décroissante, car sa raison vaut −4.
Soit u la suite arithmétique de premier terme u(0) = 53 et de raison −2.
a. Quel est son sens de variation ?
b. Donne l'expression de u(n) en fonction de n.
c. À partir de quel rang a-t-on u(n) < 0 ?
Méthode : Pour c., écris l'inéquation 53 − 2n < 0 et résous-la. Attention en divisant par un nombre négatif : le sens de l'inégalité change. Le rang cherché étant un entier, prends l'entier immédiatement supérieur au résultat obtenu.
a. Décroissante, car la raison −2 est négative.
b. u(n) = 53 − 2n
c. À partir du rang 27 : on résout 53 − 2n < 0, soit n > 26,5, et le premier entier qui convient est 27. On vérifie que u(26) = 1 est encore positif et que u(27) = −1 est bien négatif.
Ces exercices reprennent le cours Suites arithmétiques. Les autres chapitres de 1re sont sur cours de 1ʳᵉ.
Autres exercices corrigés de 1re : tableau croisé, nuage et ajustement, probabilités conditionnelles, indépendance, croissance linéaire, suites géométriques.
Énoncés adaptés des manuels Sésamath, publiés sous licence CC BY-SA, sous laquelle cette page est également diffusée.