Croissance linéaire : modéliser et franchir un seuil : 12 exercices corrigés de 1re

Pour chacune des situations suivantes, dis si le phénomène est discret ou continu.
Situation 1 : on pointe chaque jour la quantité de savon consommée dans un lycée ; elle augmente de 2 kg par jour.
Situation 2 : la température d'un liquide qui refroidit est donnée, en fonction du temps t en minutes, par f(t) = 40 − 1,5t.
Situation 3 : le tarif de location d'une maison, fixé à 7 000 € par an, augmente de 400 € chaque année.

Méthode : Méthode du cours « Déterminer si un phénomène est discret ou continu » : j'observe la VARIABLE. Si elle ne peut prendre que des valeurs isolées, en général des entiers, le phénomène est discret et se modélise par une suite. Si elle parcourt un intervalle de ℝ, il est continu et se modélise par une fonction.

En un mois, le compte de Julie est passé de 1 300 € à 1 050 €. On suppose qu'elle dépensera à l'avenir toujours la même somme chaque mois. On note u(n) le solde, en euros, après n mois.
a. De combien le solde varie-t-il chaque mois ?
b. L'évolution de ses relevés mensuels est-elle discrète ou continue ?
c. Quel est le solde après 3 mois ?

Méthode : Méthode du cours : une variation TOUJOURS ÉGALE d'une étape à la suivante caractérise une croissance linéaire, modélisée ici par une suite arithmétique de raison −250, puisque le solde diminue.

Une usine produit des stylos. Le coût de fabrication est de 1,50 € par stylo, auquel s'ajoutent 800 € de frais fixes. On note c(x) le coût de production, en euros, de x MILLIERS de stylos.
a. Quel est le coût de production de 1 000 stylos ?
b. Donne l'expression de c(x) en fonction de x.
c. Calcule le coût de fabrication de 7 500 stylos.

Méthode : Attention à l'unité : x compte des MILLIERS de stylos, donc mille stylos coûtent 1 000 × 1,50 = 1 500 € de fabrication. Les frais fixes, eux, ne dépendent pas de la production : ils forment l'ordonnée à l'origine.

Voici quatre affirmations sur la modélisation d'un phénomène. Indique si chacune est vraie ou fausse.

Méthode : Le mot « linéaire » qualifie la RÉGULARITÉ de l'évolution, pas son sens : ce qui compte, c'est que la variation soit toujours la même, qu'elle soit positive ou négative.

On donne l'évolution du prix d'un loyer mensuel, en euros.

Année | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 | 2023
Loyer (€) | 1 350 | 1 393 | 1 434 | 1 478 | 1 522

a. Calcule l'augmentation du loyer entre 2019 et 2020.
b. Calcule l'augmentation entre 2022 et 2023.
c. Peut-on dire que l'évolution est linéaire ou quasi linéaire ?

Méthode : Calcule les QUATRE augmentations successives, pas seulement deux. Une croissance linéaire exige un accroissement constant : demande-toi si les écarts observés sont assez proches pour qu'un modèle affine reste pertinent.

Soit f une fonction affine, de la forme f(x) = ax + b, telle que f(3) = 6 et f(6) = −3.
a. Quel est le taux d'accroissement de f entre 3 et 6 ?
b. Quelle est l'ordonnée à l'origine b ?
c. Calcule f(10).

Méthode : Méthode du cours « Déterminer une fonction affine » : le coefficient a est le taux d'accroissement, a = (f(6) − f(3)) ÷ (6 − 3). Attention à l'ordre des images en haut et des abscisses en bas. Remplace ensuite dans f(x) = ax + b les coordonnées de l'un des deux points connus.

En France, l'unité de température est le degré Celsius ; dans les pays anglo-saxons, c'est le degré Fahrenheit. La conversion s'obtient par une fonction affine f qui, à une température x en degrés Celsius, fait correspondre la température f(x) en degrés Fahrenheit. On sait que l'eau gèle à 0 °C, soit 32 °F, et bout à 100 °C, soit 212 °F.
a. Quel est le coefficient directeur de f ?
b. Quelle est son ordonnée à l'origine ?
c. Quelle est la température du corps humain, 37 °C, en degrés Fahrenheit ? Arrondis au dixième.

Méthode : Les deux points connus sont (0 ; 32) et (100 ; 212). Le coefficient directeur vaut (212 − 32) ÷ (100 − 0). L'ordonnée à l'origine se lit directement, puisque l'un des deux points a pour abscisse 0.

Soit f et g définies sur ℝ par f(x) = (x + 3)² − x² et g(x) = (x − 1)² − 3x².
a. Développe et réduis f(x).
b. La fonction f est-elle affine ? Si oui, précise son coefficient directeur puis son ordonnée à l'origine.
c. La fonction g est-elle affine ? Justifie.

Méthode : Il faut DÉVELOPPER avant de conclure : une expression peut avoir l'air compliquée et se simplifier en une fonction affine. Utilise les identités remarquables (a + b)² et (a − b)², puis regarde s'il reste un terme en x².

Un élève doit représenter la fonction affine f définie sur ℝ par f(x) = 2x − 5.
a. Quelle est l'ordonnée du point de la droite d'abscisse 0 ?
b. Quelle est l'ordonnée du point d'abscisse 4 ?
c. Combien de points suffisent pour tracer cette droite ?

Méthode : Méthode du cours : pour représenter une fonction affine, on choisit deux abscisses commodes, on calcule leurs images, on place les deux points et on trace la droite. Un troisième point sert seulement à vérifier.

Soit u la suite définie, pour tout entier naturel n, par u(n) = 15n + 8.
a. Résous l'inéquation 15n + 8 > 100 dans ℝ. Donne la valeur exacte sous forme décimale arrondie au centième.
b. Quel est le plus petit rang entier n à partir duquel u(n) > 100 ?
c. Calcule u(7) pour vérifier.

Méthode : Méthode du cours « Déterminer un seuil avec une suite arithmétique » : on résout l'inéquation dans les réels, puis on prend l'entier immédiatement SUPÉRIEUR à la valeur trouvée, puisque le rang est un entier.

Soit u la suite définie, pour tout entier naturel n, par u(n) = −7n + 30.
a. Résous −7n + 30 < 0 dans ℝ. Donne la valeur arrondie au centième.
b. Quel est le plus petit rang entier à partir duquel les termes sont négatifs ?
c. Calcule u(5).

Méthode : Attention : en divisant les deux membres par −7, nombre NÉGATIF, l'inégalité change de sens. Une fois la valeur réelle trouvée, prends l'entier immédiatement supérieur.

Soit deux suites u et v définies, pour tout entier naturel n, par uₙ = 24 + 5n et vₙ = 5 + 7n.
a. Résous l'inéquation 24 + 5n < 5 + 7n dans ℝ.
b. À partir de quel rang entier a-t-on uₙ < vₙ ?
c. Calcule u₉ et v₉ pour vérifier que le rang 9 ne convient pas : donne la valeur de v₉.

Méthode : Regroupe les termes en n d'un côté et les nombres de l'autre : 24 − 5 < 7n − 5n donne 19 < 2n. Le rang cherché étant entier, prends l'entier immédiatement supérieur à 9,5.