Suites géométriques : 12 exercices corrigés de 1re

On donne les premiers termes de trois suites. Pour chacune, dis si elle est géométrique.
Suite a : 1 ; 3 ; 9 ; 27 …
Suite b : 2 ; 4 ; 6 ; 8 …
Suite c : 48 ; 24 ; 12 ; 6 …

Méthode : Méthode du cours : une suite est géométrique si le QUOTIENT de deux termes consécutifs est constant. Calcule tous les quotients, pas seulement le premier — c'est l'analogue de la différence pour les suites arithmétiques.

Soit u la suite définie par u(0) = 10 et, pour tout entier naturel n, u(n + 1) = u(n) ÷ 2.
a. Quelle est la raison de cette suite géométrique ?
b. Calcule u(2).
c. Calcule u(3).

Méthode : Diviser par 2, c'est multiplier par 0,5 : la raison est donc 0,5, et non 2. La suite est géométrique parce que ce facteur est le même à chaque étape.

Soit w une suite géométrique de raison 2 telle que w(2) = 10.
a. Calcule w(3).
b. Calcule w(1).
c. Calcule w(0).

Méthode : Pour avancer d'un rang, on MULTIPLIE par la raison ; pour reculer d'un rang, on DIVISE par elle. C'est l'analogue exact de l'addition et de la soustraction pour une suite arithmétique.

Soit u la suite géométrique de raison 3 et de premier terme u(0) = 5.
a. Donne l'expression de u(n) en fonction de n.
b. Calcule u(2).
c. Calcule u(4).

Méthode : Méthode du cours : lorsque le premier terme est u(0), le terme de rang n vaut u(n) = u(0) × qⁿ. On remplace ensuite n par la valeur demandée. Attention à l'ordre des opérations : c'est la RAISON qui est élevée à la puissance n, pas le premier terme.

Soit u la suite définie par u(0) = 2 et, pour tout entier naturel n, u(n + 1) = 3u(n).
a. Quelle est la raison de la suite ?
b. Donne l'expression de u(n) en fonction de n.
c. Calcule u(5).

Méthode : La relation de récurrence u(n + 1) = 3u(n) signifie que l'on multiplie par 3 à chaque étape : la raison est 3. On passe alors à la forme explicite u(n) = u(0) × qⁿ, qui permet de calculer u(5) directement.

Soit (uₙ) une suite géométrique de raison 2 et de terme initial u₀ = 3.
a. Exprime uₙ₊₁ en fonction de uₙ.
b. Donne le terme général uₙ en fonction de n.
c. Calcule u₅.

Méthode : La question a. demande la relation de RÉCURRENCE, la question b. la relation FONCTIONNELLE. Ce sont deux écritures de la même suite : la première dit comment passer d'un terme au suivant, la seconde permet de calculer n'importe quel terme directement.

Détermine le sens de variation de chacune des trois suites géométriques suivantes, toutes à termes strictement positifs.
Suite u : raison 2, u(0) = 1.
Suite w : raison 0,7, w(1) = 3.
Suite t : raison 2/3, t(0) = 0,8.

Méthode : Méthode du cours : pour une suite géométrique à premier terme positif, le sens de variation dépend de la position de la raison par rapport à 1, et non par rapport à 0. Si q > 1 la suite croît ; si 0 < q < 1 elle décroît.

Soit u une suite géométrique à termes positifs telle que u₃ = 5 et u₄ = 20/3.
a. Calcule la raison de la suite. Donne une fraction irréductible.
b. Cette raison est-elle supérieure ou inférieure à 1 ?
c. Quel est le sens de variation de la suite u ?

Méthode : La raison s'obtient comme le quotient de deux termes CONSÉCUTIFS : q = u₄ ÷ u₃. Compare ensuite cette raison à 1, et non à 0 : c'est 1 qui sépare les suites croissantes des décroissantes.

Parmi les quatre suites géométriques à termes positifs suivantes, on cherche celles qui sont DÉCROISSANTES.
Suite u : raison 5, u₀ = 4.
Suite v : raison 4/5, v₁ = 10.
Suite w : w₀ = 5 et wₙ₊₁ = 5wₙ.
Suite t : t₁ = 99 et tₙ₊₁ = 0,97tₙ.
a. Quelle est la raison de la suite w ?
b. Quelle est la raison de la suite t ?
c. Lesquelles de ces quatre suites sont décroissantes ?

Méthode : Commence par extraire la raison de chaque écriture : dans wₙ₊₁ = 5wₙ, le facteur est 5. Attention à la suite t : 0,97 est très proche de 1, mais reste strictement inférieur, la suite décroît donc lentement.

Le nombre de bactéries d'un échantillon augmente de 50 % chaque jour. L'échantillon contient 2 000 bactéries le premier jour. On note u(n) le nombre de bactéries, en MILLIERS, au bout de n jours, de sorte que u(0) = 2.
a. Quelle est la raison de la suite u ?
b. Donne l'expression de u(n) en fonction de n.
c. Calcule u(2).

Méthode : Méthode du cours : une augmentation de 50 % correspond au coefficient multiplicateur 1 + 50/100 = 1,5. Comme ce coefficient est le même chaque jour, la suite est géométrique de raison 1,5.

Pour chacune des situations suivantes, dis si la modélisation conduit à une croissance linéaire ou exponentielle.
Situation 1 : le salaire d'Angela augmente de 1 % chaque année.
Situation 2 : Rosa verse chaque mois 50 euros sur son livret d'épargne.
Situation 3 : le nombre de lentilles d'eau d'un lac double chaque semaine.
Situation 4 : le taux de chômage d'un pays augmente d'un point chaque année.

Méthode : Le mot clé est là : « de x % » signale une multiplication, donc une croissance exponentielle ; « de x unités » signale une addition, donc une croissance linéaire. Attention au piège de la situation 4 : un POINT de pourcentage est une quantité ajoutée, pas un pourcentage d'évolution.

L'iode 131 a une demi-vie d'environ 8 jours : la moitié des noyaux se sont désintégrés au bout de 8 jours. On note N(k) le nombre de noyaux restants au bout de k périodes de 8 jours, avec N(0) = 1, exprimé en proportion du nombre initial.
a. Quelle est la raison de la suite N ?
b. Au bout de combien de jours le nombre de noyaux a-t-il été divisé par 4 ?
c. Quelle proportion de noyaux reste-t-il au bout de 32 jours ?

Méthode : Diviser par 4, c'est diviser deux fois par 2 : il faut donc deux périodes de demi-vie. Pour c., 32 jours représentent quatre périodes : la proportion restante vaut 0,5⁴.